Olimpiada Ibero-americana - Gravitação

Uma estrela tripla é formada por três estrelas de mesma massa M que gravitam em torno do centro de massa C do sistema. As estrelas estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência que corresponde à trajetória por elas descrita, conforme ilustra a figura.
Considerando-se como dados a massa M de cada estrela, o raio R da circunferência que elas descrevem e a constante de gravitação universal G, determine o período T no movimento orbital de cada estrela.



gab: 2*pi*R*raiz{(RV3)/(GM)}

Distância entre duas estrelas ----> d = R*V3

Força de atração gravitacional entre duas estrelas ----> F = GM²/d² ----> F = GM²/(R*V3)² ----> F = GM²/3R²

Resultante das forças gravitacionais atuando em cada estrela ----> Fr = 2Fcos30º ----> Fr = F*V3 ----> Fr = V3*GM²/3R²

Esta força resultante é igual à força centrípeta ----> Fr = Mv²/R -----> V3*GM²/3R² = Mv²/R -----> v² = GM/R*V3

v = wR ----> v² = w²R² -----> GM/R*V3 = w²R² -----> w² = GM/R³*V3 -----> (2pi/T)² = GM/R³*V3 ----> (2pi)²/T² = GM/R³*V3

T² = (2pi)²*R²*V3*R/GM -----> T = 2piR*V(V3*R/GM)

Obrigado Élcio, vou dar uma olhada na resolução. Qualquer dúvida volto

Olá Élcio,

Gostei da questão, mas não entendi como achar a distância entre as estrelas:

Distância entre duas estrelas ----> d = R*V3

luiseduardo escreveu:Olá Élcio,

Gostei da questão, mas não entendi como achar a distância entre as estrelas:

Distância entre duas estrelas ----> d = R*V3

Boa Noite, Luis Eduardo
Então uma das possibilidades seria pela Lei dos Senos. Já que o triângulo é equilátero, os ângulos internos valem 60º, e temos E1C, E2C e E3C como bissetrizes. Assim:
R/sen 30º = d/sen120º
tendo sen 120º = sen 60º, temos:
R/1/2 = d/√3/2
d = √3R

Outro caminho, no triângulo CE1E2

E1E2 = E1C.cos30º + E2C.cos30º

d = R.(√3/2) + R.(√3/2)

d = √3.R