eq irracionais

por MFPMED 20/2/2016, 9:40 pm

G1 1996 resolver a equação $\sqrt{2}*x=1+\sqrt{x+7}$

PS: G1 é alguma escola técnica? Deve ser, pois já resolvi mais de 100 questões desse lugar e todas sao de nivel fundamental.

por **gabrieldpb** 21/2/2016, 1:13 am

Somando 2\sqrt{7} dos dois lados encontrará:

\sqrt{2}(x+7)=\sqrt{x+7}+1+2\sqrt{7}

Chamando y=\sqrt{x+7}

\sqrt{2}y^2=1+7\sqrt{2}+y

\sqrt{2}y^2-y-1-7\sqrt{2}=0

Resolvendo a equação de segundo grau:

y=\frac{1\pm \sqrt{1-4(\sqrt2)(-1-7\sqrt{2})}}{2\sqrt{2}}

y=\frac{1\pm \sqrt{57+4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}

Como y é não negativo, pela sua definição como radical, temos que somente a raiz positiva será aceita:

\sqrt{x+7}=\frac{1 + \sqrt{57+4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}

Então,
x+7=\frac{1 + 57+4\sqrt{2}+2\sqrt{57+4\sqrt{2}}}{8}

Organizando:

x=\frac{2+4\sqrt{2}+2\sqrt{57+4\sqrt{2}}}{8}

x=\frac{1+2\sqrt{2}+\sqrt{57+4\sqrt{2}}}{4}

Abraço!

por **gabrieldpb** 21/2/2016, 1:24 am

Se o enunciado certo fosse:
\sqrt{2x}=1+\sqrt{x+7}

Eleve ao quadrado, atentando ao fato de que fazendo isso, podemos adicionar mais raízes:

2x=1+x+7+2\sqrt{x+7}

x=8+2\sqrt{x+7}

x+7-2\sqrt{x+7}-15=0

Chame y=\sqrt{x+7} e proceda como na outra solução. Você encontrará como soluções para y, 5 e -3. Como y é não negativo por ser um radical, y=5. Logo, x=18.

Como o resultado é mais simples, suponho que você possa ter confundido no enunciado. Abraço!

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