Equações irracionais

Trabalhando no conjunto dos números reais, resolva a equação √(x-1) = a-x determinando ao mesmo tempo os valores de {a} para que a equação tenha efetivamente solução. Encontre a formula que dá a solução em termos do parâmetro {a} e explique por que essa fórmula (e não outra ) é a solução. Faça os gráficos das funções y=√(x-1) e y=a-x e intérprete a solução da equação dada em termos desses gráficos.


Resposta :
a=3/4                x =  (2a + 1) - √(4a-3)
                                 ------------------------------
                                               2 



Se alguém puder me dar uma força, não consigo entender como chegou a tal resultado nem como montar o gráfico.

Oi,

Acredito que a resposta não esteja correta para a = 3/4. Primeiro, vamos determinar x em termo do parâmetro a. Uma observação é que a raiz quadrada de √(x-1) só faz sentido no conjunto dos números reais se x ≥ 1. Logo a ≥ 1.

Note que √(x-1) = a - x ⇔ a = √(x-1) + x ⇔ a^2 = ( √(x-1) + x )^2 ⇔ x^2 + x(-2a - 1) + ( a^2 + 1 ) = 0. Aplicando Bhaskara para encontrar x em termo de a, temos:


x = [ (2a + 1) ± √(4a - 3) ]/2. Para ver qual das duas soluções é a correta, você tem que ter a - x ≥ 0. Ou seja, se x = [ (2a + 1) + √(4a - 3) ]/2, segue que a - x ≥ 0 ⇔ a ≤ 1. O que não pode ocorrer ( com exceção de a = 1 ). Logo x = x = [ (2a + 1) - √(4a - 3) ]/2 para todo a ≥ 1 nos reais. 

A interpretação gráfica é a seguinte. Você observa quando que a função y= a - x  intercepta a função y = √(x-1) para encontrarmos a solução da equação, com valores de a ≥ 1. Para plotar o gráfico de √(x-1) é bom ter em mente como é o gráfico de √x, por que com isso você translada uma unidade para a direita. Caso contrário, é na força bruta, substitui alguns valores no x e faz a aproximação do gráfico no papel. No caso da reta y = a - x vc toma um a maior que 1 ( o a é constante ) e plota para alguns valores de x. Se você usar algum site para plotar os gráficos da pra ver que a reta a - x só intercepta √(x-1) quando a ≥ 1.

Observação: para a = 3/4 temos x = 1.25. Assim, √(1.25-1) = 0.5 e 3/4 - 1.25 = -0.5. 

Até mais

Muito obrigado

Herowd escreveu:Oi,

Acredito que a resposta não esteja correta para a = 3/4. Primeiro, vamos determinar x em termo do parâmetro a. Uma observação é que a raiz quadrada de √(x-1) só faz sentido no conjunto dos números reais se x ≥ 1. Logo a ≥ 1.

Note que √(x-1) = a - x ⇔ a = √(x-1) + x ⇔ a^2 = ( √(x-1) + x )^2 ⇔ x^2 + x(-2a - 1) + ( a^2 + 1 ) = 0. Aplicando Bhaskara para encontrar x em termo de a, temos:


x = [ (2a + 1) ± √(4a - 3) ]/2. Para ver qual das duas soluções é a correta, você tem que ter a - x ≥ 0. Ou seja, se x = [ (2a + 1) + √(4a - 3) ]/2, segue que a - x ≥ 0 ⇔ a ≤ 1. O que não pode ocorrer ( com exceção de a = 1 ). Logo x = x = [ (2a + 1) - √(4a - 3) ]/2 para todo a ≥ 1 nos reais. 

A interpretação gráfica é a seguinte. Você observa quando que a função y= a - x  intercepta a função y = √(x-1) para encontrarmos a solução da equação, com valores de a ≥ 1. Para plotar o gráfico de √(x-1) é bom ter em mente como é o gráfico de √x, por que com isso você translada uma unidade para a direita. Caso contrário, é na força bruta, substitui alguns valores no x e faz a aproximação do gráfico no papel. No caso da reta y = a - x vc toma um a maior que 1 ( o a é constante ) e plota para alguns valores de x. Se você usar algum site para plotar os gráficos da pra ver que a reta a - x só intercepta √(x-1) quando a ≥ 1.

Observação: para a = 3/4 temos x = 1.25. Assim, √(1.25-1) = 0.5 e 3/4 - 1.25 = -0.5. 

Até mais

Como você fez na parte [√(x-1) + x]^2 ?

Opa! Desculpa pelo erro. Correção: √(x-1) = a - x ⇔ x - 1 = (a - x )^2  ⇔ x - 1 = a^2 - 2ax + x^2 ⇔ x^2 - 2ax - x + a^2 + 1 = 0 ⇔ x^2 + x(-2a - 1) + (a^2 + 1) = 0.


Até

Herowd escreveu:Opa! Desculpa pelo erro. Correção: √(x-1) = a - x ⇔ x - 1 = (a - x )^2  ⇔ x - 1 = a^2 - 2ax + x^2 ⇔ x^2 - 2ax - x + a^2 + 1 = 0 ⇔ x^2 + x(-2a - 1) + (a^2 + 1) = 0.


Até

Vlw