Equações cúbicas

por **Elcioschin** Ter 09 Fev 2016, 19:14

Resolva o sistema:

x³ + y³ = 1

x².y + 2.x.y² + y³ = 2

por Pedro Prado Ter 09 Fev 2016, 20:20

$\\x^2y+2xy^2+y^3=y(x+y)^2=2\\x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=1$

$\\\text{dividindo as express\~oes:}\\\frac{y(x+y)}{x^2-xy+y^2}=2\\y(x+y)=2x^2-2xy+2y^2\\y(x+y)=2[(x+y)^2-2xy]-2xy\\y(x+y)-2(x+y)^2=-6xy\\(x+y)(2x+3y)=6xy$

Travei nesse ponto.... Mad

, mas espero ter ajudado o senhor em algo.

por **Elcioschin** Ter 09 Fev 2016, 20:27

Pedro

Eu conheço dois métodos para calcular: um deles, mais trabalhoso, leva a uma equação do 6º grau, do tipo a.y⁶ + b.y³ + c = 0.

O outro, usando apenas fatoração, dá para resolver muito rapidamente e facilmente.

Sugiro tentar mais um pouco.

por **Gabriel Cluchite** Ter 09 Fev 2016, 21:20

\\x^{2}y+2xy^2+y^3=2\\y(x^2+2xy+y^2)=2\\y(x+y)^2=2\;\;\;\; (I)\\\\\\x^3+y^3=1\\(x+y).(x^2-xy+y^2)=1\;\;(II)\\\\\\\frac{(I)}{(II)}\rightarrow \frac{y(x+y)}{x^2-xy+y^2}=2\\\\xy+y^2=2x^2-2xy+y^2\\2x^2-3yx+y^2=0

\\\Delta =9y^2-8y^2=y^2\\\\x=\frac{3y\pm y}{4}\rightarrow x=y\;,\;x=\frac{y}{2}\\\\x^3+x^3=1\therefore \boxed{x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}\\\\x^3+8x^3=1\therefore \boxed{x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}},y=\frac{2}{\sqrt[3]{9}}}

Acho que é isso.

por **Elcioschin** Ter 09 Fev 2016, 23:59

Outro modo e dando a resposta sem raiz no denominador:

x³ + y³ = 1 ---> 2.x³ + 2.y³ = 2 ---> I
x².y + 2.x.y² + y³ = 2 ---> II

I = II ---> x².y + 2.x.y² + y³ = 2.x³ + 2.y³ ---> x².y - y³ + 2.x.y² - 2.x³ = 0 --->

y.(x² - y²) - 2.x.(x² - y²) = 0 ---> (y - 2.x).(x² - y²) = 0

Temos duas possibilidades

y = 2x ---> x³ + y³ = 1 ---> x³ + (2.x³) = 1 ---> x³ = 1/9 ---> x³ = 3/27 --->

x = ∛3/3 ---> y = 2.∛3/3

y = x ---> x³ + x³ = 1 ---> x³ = 1/2 --> x³ = 4/8 ---> x = y = ∛4/2

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