Equação trigonométrica

por Muá Seg 01 Fev 2016, 14:15

Encontre todas as soluções no intervalo ]0,2π[ da equação sen(16x) + cos(16x) = 1.

por **Elcioschin** Seg 01 Fev 2016, 14:58

sen(16x) + cos(16x) = 1

[sen(16x) + cos(16x)]² = 1²

sen²(16x) + cos²(16x) + 2.sen(16x).cos(16x) = 1

1 + sen(32x) = 1

sen(32x) = 0

Temos as soluções:

1) 32x = 0 ---> x = 0 ---> não serve
2) 32x = pi ---> x = pi/32
3) 32x = 2pi ---> x = pi/16
4) 32x = 3pi ---> x = 3pi/32
5) 32x = 4pi ---> x = pi/8
........................................
?) 32x = 64pi ---> x = 2pi ---> não serve

Complete

por **ivomilton** Seg 01 Fev 2016, 15:29

Muá escreveu:Encontre todas as soluções no intervalo ]0,2π[ da equação sen(16x) + cos(16x) = 1.

Boa tarde, Muá.

OBSERVAÇÃO : O problema quer a solução no intervalo ABERTO ] 0, 2π [ , ou seja, entre 0 e 2π excluindo-se os extremos. Isso significa que os dois extremos não entram na solução.

sen(16x) + cos(16x) = 1

Elevando-se ambos os membros ao quadrado, obtém-se:

sen²(16x) + 2.sen(16x).cos(16x) + cos²(16x) = 1

Mudando a ordem dos termos acima:

sen²(16x) + cos²(16x) + 2.sen(16x).cos(16x) = 1

Donde deduzimos:

2.sen(16x).cos(16x) = 0

Possibilidades de solução:
sen(16x)=0 com cos(16x)=1
sen(16x)=0 com cos(16x)=0

(ou)

sen(16x)=1 com cos(16x)=0

Resolvendo, fica:

sen(16x) = 0 → x = 0, ∏, 2∏

Como x não pode ser igualado a 0 nem a 2∏, resta: x=∏

cos(16x) = 1 → x = 0, 2∏
cos(16x) = 0 → x = ∏/2, 3∏/2

Como x não pode ser igualado a 0 nem a 2∏, cos(16x)=1 é inválido!
E x pode ser igualado perfeitamente a ∏/2 ou a 3∏/2; entretanto, o valor ∏ do seno teria que combinar com igual ângulo no cosseno, o que não acontece!

Analisando a outra possibilidade:

sen(16x) = 1 → ∏/2 → x=(∏/2)/16=∏/32
cos(16x) = 0 → ∏/2, 3∏/2 (ambos válidos) → x=(∏/2)/16=∏/32 ; x=(3∏/2)/16=3∏/32

Então, pelo que estou percebendo, há uma única solução possível.

Um abraço.

por Muá Seg 01 Fev 2016, 21:17

Elcioschin, eu queria fazer exatamente isso, o que daria varias soluçoes ate o limite que o intervalo estabelece. Resta saber se esse é o caminho certo.

por **Elcioschin** Seg 01 Fev 2016, 22:30

O caminho está certo mas é preciso checar cada resposta para ver se atende. E eu deixei para você fazer isto, meu caro, quando escrevi "Complete"

Por exemplo vou checar x = pi/32:

sen[16.(pi/32)] + cos[16.(pi/32)] = sen(pi/2) + cos(pi/2) = 1 + 0 = 1 ---> 1 = 1 ---> serve

Complete

por **ivomilton** Seg 01 Fev 2016, 23:57

Elcioschin escreveu:O caminho está certo mas é preciso checar cada resposta para ver se atende. E eu deixei para você fazer isto, meu caro, quando escrevi "Complete"

Por exemplo vou checar x = pi/32:

sen[16.(pi/32)] + cos[16.(pi/32)] = sen(pi/2) + cos(pi/2) = 1/2 + √3/2 = (√3 + 1)/2 ≠ 1 ---> não serve

Complete

Boa noite, caro Elcio.
O amigo escreveu:
sen(pi/2) = 1/2 e cos(pi/2) = √3/2.
Está correto?

Forte abraço.

por **Elcioschin** Ter 02 Fev 2016, 09:48

Ivomilton

Certamente eu escrevi errado (distrações de um "coroa"). O correto é, para x = pi/32:

sen[16.(pi/32)] + cos[16.(pi/32)] = sen(pi/2) + cos(pi/2) = 1 + 0 = 1 ---> 1 = ---> serve

Vou editar minha mensagem.

Um fato importante a ressaltar: para que se tenha sen(16x) + cos(16x) = 1, devemos ter:

a) 16x ≠ 0 --> para respeitar o intervalo ]0, 2pi[
b) 16x no primeiro quadrante ou
c) 16.x = pi/2

Isto acontece, poque no intervalo ]pi/2, 2pi[ ou o seno ou o cosseno é negativo e é impossível obter soma 1