Equação Trigonométrica

por Paduan Qua 02 Ago 2017, 12:06

Resolva a equação:

sen x - cos x = sen 2x - cos 2x - 1

por **Giovana Martins** Qua 02 Ago 2017, 22:02

sen x-cos x=sen 2x-cos 2x-1

2sen xcos x-(1-2sen²x)-1-sen x+cos x=0

2sen xcos x+2sen²x-sen x+cos x-2=0

2sen xcos x+2(1-cos²x)-sen x+cos x-2=0

2sen xcos x-2cos²x-sen x+cos x=0

sen x(2cos x-1)-2cos²x+cos x=0

sen x(2cos x-1)-cos x(2cos x-1)=0

(2cos x-1)(sen x-cos x)=0

cos x=1/2 (1) ou sen x-cos x=0 (2)

(1): cos x=1/2 -> x=±(∏/3)+2k∏, k∈ℤ

(2): cos [(∏/2)-x]=cos x -> x=±[(∏/2)-x]+2k∏ -> x=(∏/4)+k∏, k∈ℤ

S={x∈ℝ / x=(∏/4)+k∏ ou x=±(∏/3)+2k∏, k∈ℤ}

por This is me Qua 02 Ago 2017, 22:58

Giovana Martins escreveu:
sen x-cos x=sen 2x-cos²x-1

2sen xcos x-(1-2sen²x)-1-sen x+cos x=0

Giovana,
(1-2sen²x) não seria a fórmula do cos(2x)?
A equação pede cos²x que seria no caso 1-sen²x afetando a sua resolução.
É isso?

por **Giovana Martins** Qua 02 Ago 2017, 23:26

This is me, mesmo eu colocando cos²x na minha resolução, eu juro que eu tinha visto cos 2x no enunciado, tanto é que eu continuei desenvolvendo a questão como se fosse cos 2x. Eu tentei refazer a questão partindo da equação correta e eu não obtive resposta. Eu coloquei a equação no Wolfram e ele deu umas respostas bem feias envolvendo números complexos O.o. Paduan, a equação foi digitada corretamente?

por Paduan Qui 03 Ago 2017, 09:18

Isso mesmo Giovana, eu coloquei errado, o enunciado está com -cos 2x.

por **Giovana Martins** Qui 03 Ago 2017, 09:25

Eu já tinha previsto que era cos 2x haha... espero poder prever as respostas dos exercícios no vestibular kkkk. Paduan, se houver dúvidas, avise.

por **Giovana Martins** Qui 03 Ago 2017, 09:26

Editei a resposta.

por Paduan Qui 03 Ago 2017, 09:33

Consegui entender, travei um pouco no modo de escrever o conjunto solução a respeito de quando usar o k∏ ou 2k∏, mas se deve aos sinais dos quadrantes não é mesmo?

por **Giovana Martins** Qui 03 Ago 2017, 10:05

Paduan, vamos ver o caso em que x=(∏/3). Coloque este arco no ciclo trigonométrico. Nós adicionamos o k∏ ou 2k∏ à solução para obtermos todos os arcos côngruos de um arco. Para obtermos o arco côngruo de ∏/3 devemos dar uma volta completa no ciclo trigonométrico, ou seja, temos de percorrer 2∏ pelo ciclo. Como queremos todos os arcos côngruos de ∏/3, fazemos 2k∏, com k∈ℤ.

k=1 -> 2k∏=2∏ (uma volta)

k=2 -> 2k∏=4∏ (duas voltas)

E assim por diante...

Agora, vamos ver o caso em que x=±[(∏/2)-x]+2k∏.

x=[(∏/2)-x]+2k∏ -> 2x=(∏/2)+2k∏

Dividindo os dois lados por 2:

x=(∏/4)+k∏

O outro caso: x=-[(∏/2)-x]+2k∏

x=-(∏/2)+x+2k∏ -> 0=-(∏/2)+2k∏

o que é um absurdo, pois 0≠-(∏/2)+2k∏.

Uma observação. Uma situação em que usamos k∏ e não 2k∏. Seja a equação cos x=0. Desenvolvendo a equação:

cos x=cos (∏/2) -> x=±(∏/2)+k∏

É k∏ e não 2k∏ pelo seguinte motivo: o próximo arco côngruo de ∏/2 é 3∏/2. No ciclo trigonométrico, se partimos de ∏/2 até 3∏/2, percorremos 1/2 volta, por isso k∏.

Nota: no Youtube há vídeos do Khan Academy sobre equações trigonométrica. Caso você esteja tendo problemas com essa matéria, eu sugiro que você veja esses vídeos. Lá ele explica bem a parte de equações trigonométricas, ensina alguns macetes e fala sobre a ideia do k∏ e do 2k∏.