Equação trigonométrica

por jr.macedo93 Ter 28 Jul 2015, 18:13

Se 3cos(x) + sen(x) = -1, com pi/2 < x < pi, então qual o valor real do sen(x) ?

[Não tenho gabarito, questão aberta. Obrigado]

por **rodrigoneves** Ter 28 Jul 2015, 20:40

\frac{\pi}{2} < x < \pi \Rightarrow \text{cos} \, x < 0 \Rightarrow \text{cos} \, x = - \sqrt{1 - \text{sen} ^2 \, x}
Fazendo y = sen x:
3 \left ( - \sqrt{1 - y ^2 } \right ) + y = -1 \Rightarrow y + 1 = 3\sqrt{1 - y^2} \xrightarrow{*} y^2 + 2y + 1 = 9(1 - y^2) \Rightarrow 10y^2 + 2y - 8 = 0
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 10 \cdot \left ( -8 \right ) = 324 \therefore y = \frac{-2 \pm 18}{2\cdot 10} = \frac{4}{5} \, \text{ou} \, -1
Duas observações:
1- em *, elevamos os dois membros da equação ao quadrado, logo perdemos a informação dos respectivos sinais. Devemos substituir, pois, os valores de y encontrados e verificar se ambos satisfazem.
2- Feito isso, vemos que, nesse caso, de fato ambos os valores de y encontrados são satisfatórios. No entanto, não podemos ter sen x = -1 com x no intervalo dado (segundo quadrante). Portanto:
\text{sen} \, x = \frac{4}{5}