Obmep - Ponto
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Obmep - Ponto
por GutoAz Seg 28 Set 2015, 21:01
O quadrado da figura tem um vértice na origem, outro no ponto (10,7) e um terceiro no ponto (a, b). Qual é o valor de a + b?
GutoAz- Padawan
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Re: Obmep - Ponto
por Aeron945 Seg 28 Set 2015, 21:48
A(0,0) B(10,7) C(a,b)
Distância de A até B = lado do quadrado
Distância de A até C = Diagonal do quadrado = lado vezes √2
Monte as duas equações, logo terá duas equações e duas incógnitas (faça o sistema)
Distância de A até B = lado do quadrado
Distância de A até C = Diagonal do quadrado = lado vezes √2
Monte as duas equações, logo terá duas equações e duas incógnitas (faça o sistema)
Aeron945- Mestre Jedi
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Re: Obmep - Ponto
por Carlos Adir Seg 28 Set 2015, 21:57
Outra maneira é utilizar trigonometria.
Podemos perceber que o lado do triângulo é √(10²+7²)=√149
Sendo o ângulo theta, formado com a horizontal, tal que tan θ=7/10
Utilizando a soma de arcos temos:
tan (θ+45°) = (tan 45° + tan θ)/(1 - tan 45° . tan θ) = 17/3
Como b/a = tan (θ+45°) ---> b/a = 17/3 --> 3b = 17a
Por outro lado, temos que √(a²+b²) = √2 . √149
Resolvendo o sistema obtemos:
9a² + 17²a²= 9*2*149
298 a² = 9 * 298
a = 3
Assim, b=17.
Portanto, a+b=20
Podemos perceber que o lado do triângulo é √(10²+7²)=√149
Sendo o ângulo theta, formado com a horizontal, tal que tan θ=7/10
Utilizando a soma de arcos temos:
tan (θ+45°) = (tan 45° + tan θ)/(1 - tan 45° . tan θ) = 17/3
Como b/a = tan (θ+45°) ---> b/a = 17/3 --> 3b = 17a
Por outro lado, temos que √(a²+b²) = √2 . √149
Resolvendo o sistema obtemos:
9a² + 17²a²= 9*2*149
298 a² = 9 * 298
a = 3
Assim, b=17.
Portanto, a+b=20
____________________________________________
← → ↛ 
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇
ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
Carlos Adir- Monitor
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Re: Obmep - Ponto
por Aeron945 Seg 28 Set 2015, 22:00
Carlos Adir escreveu:Outra maneira é utilizar trigonometria.
Podemos perceber que o lado do triângulo é √(10²+7²)=√149
Sendo o ângulo theta, formado com a horizontal, tal que tan θ=7/10
Utilizando a soma de arcos temos:
tan (θ+45°) = (tan 45° + tan θ)/(1 - tan 45° . tan θ) = 17/3
Como b/a = tan (θ+45°) ---> b/a = 17/3 --> 3b = 17a
Por outro lado, temos que √(a²+b²) = √2 . √149
Resolvendo o sistema obtemos:
9a² + 17²a²= 9*2*149
298 a² = 9 * 298
a = 3
Assim, b=17.
Portanto, a+b=20
Muito melhor assim
Obrigado, Carlos.
Aeron945- Mestre Jedi
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Re: Obmep - Ponto
por Medeiros Ter 29 Set 2015, 03:31
A resposta muito boa e enxuta do Carlos Adir é a mais adequada ao ensino médio. Entretanto rotacionar em 90° é tão fácil que eu não resisto fazer esta malandragem.
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