Determine as coordenadas do ponto do ponto D

por leopinna Seg 02 Dez 2013, 18:19

Dados os pontos A(-1,6), B (6,6) e C(3,2) Determine as coordenadas do ponto do ponto D sabendo que ABCD é um um paralelogramo e que D está no segundo quadrante.
resposta D(-4,2)

por **Elcioschin** Seg 02 Dez 2013, 18:54

Desenhe os 3 pontos num sistema xOy

Basta olhar para ver que yD = yC ----> yD = 2

AB = xB - xA ----> AB = 6 - (-1) ----> AB = 7

CD = 7 ----> xC - xD = 7 ----> 3 - xD = 7 ----> xD = - 4

por PedroCunha Seg 02 Dez 2013, 19:32

Outra maneira:

Veja o desenho:

Determine as coordenadas do ponto do ponto D Rh14

Como ABCD é um Paralelogramo, seus lados paralelos tem medidas iguais. Ou seja: AB = CD e AD = BC. Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, temos: (As coordenadas de D são (x,y) )

$\\\circ \sqrt{ (6-6)^2 + (6+1)^2} = \sqrt{(y-2)^2 + (x-3)^2} \therefore \\ 49 = y^2 - 4y + 4 + x^2- 6x + 9 \therefore x^2 + y^2 - 6x - 4y = 36 \\\\\circ \sqrt{(y-6)^2 + (x+1)^2} = \sqrt{(2-6)^2 + (3-6)^2} \therefore \\\\ y^2 - 12y + 36 + x^2 + 2x + 1 = 25 \therefore x^2 + y^2 +2x - 12y = -12 \\\\\begin{cases} x^2 + y^2 - 6x -4y = 36 \dots I \\ x^2 + y^2 + 2x - 12y = -12 \dots II \end{cases} \\\\ \text{Fazendo } II -I: \\\\8x - 8y = -48 \therefore -x - y = -6 \therefore -x + y = 6 \therefore y = x +6 \dots III \\\\\text{Substituindo } III \text{ em } I: \\\\ x^2 + x^2 + 12x + 36 - 6x - 4x - 24 = 36 \therefore 2x^2 + 2x - 24 = 0 \therefore x^2 + x - 12 = 0 \therefore \\\\ x_1 = \frac{-1 + 7}{2} \therefore \cancel{x_1 = 3} \rightarrow \text{x deve ser negativo} \\\\ x_2 = \frac{-1 - 7}{2} \therefore x_2 = -4 \\\\ \text{Substituindo x e encontrando y:} \\\\ y = -4 + 6 \therefore y = 2 \\\\ \text{Portanto:} D(-4,2)$