Valor do segmento AC

Num triângulo ABC, os lados AB e BC medem respectivamente 12cm e 6cm. Uma ceviana CD de medida
igual a 5cm baixada sobre o lado AB, divide-o em segmentos DA e DB que estão na razão de 3 para 1. Calcular em cm a
medida do lado AC.


Questão original:

Gabarito: 10

Fiz o seguinte desenho:

Mas não encontro a semelhança (imagino que seja por semelhança) :scratch: :scratch:

Armando Vieira escreveu:Num triângulo ABC, os lados AB e BC medem respectivamente 12cm e 6cm. Uma ceviana CD de medida
igual a 5cm baixada sobre o lado AB, divide-o em segmentos DA e DB que estão na razão de 3 para 1. Calcular em cm a
medida do lado AC.


Questão original:

Gabarito: 10

Fiz o seguinte desenho:

Mas não encontro a semelhança (imagino que seja por semelhança) :scratch: :scratch:

Boa tarde, Armando.

Calcule a área do triângulo de medidas 3, 5 e 6 pela fórmula de Herón:
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c) = √[7(7-3)(7-5)(7-6)] = √(7*4*2*1) = √56

Designe pela letra D o pé da ceviana junto ao lado AB.

Baixe uma perpendicular desde C até encontrar o lado AB (=altura relativa a AB) e designe o encontro com AB pela letra H.

S = bh/2
√56 = 3h/2
3h = 2√56
h = 2√56/3

Calcule a medida HB:
(HB)² = (BC)² - (CH)²
(HB)² = (6)² - (2√56/3)² = 36 - 224/9 = (36*9 - 224)/9 = (324-224)/9 = 100/9
HB = √(100/9)
HB = 10/3

Calcule a medida HD:
HD = HB - DB = 10/3 - 3 = 10/3 - 9/3
HD = 1/3

A seguir, calcule a medida AH:
AH = AD - HD = 9 - 1/3 = (9*3 - 1)/3 = (27-1)/3 = 26/3

Mediante as medidas de AH e de CH, já podemos calcular a medida de AC:
(AC)² = (AH)² + (CH)²
(AC)² = (26/3)² + (2√56/3)² = 676/9 + 224/9 = 900/9 = 100
AC = √100
AC = 10




Um abraço.

Genial!, muito obrigado mestre Ivomilton!