Encontre o valor do segmento CP

por **Matheus Vilaça** Sex 18 Jan 2013, 13:06

Na figura a seguir ABCD é um retângulo ,o triângulo vermelho é equilátero de lado CD = 18cm, e AD e CB são as diagonais do retângulo, sendo N o ponto médio das diagonais. Sabendo isso, determine o seguimento CP da figura.

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Encontre o valor do segmento CP Questofrumpir1

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por **Leonardo Sueiro** Sex 18 Jan 2013, 13:33

Utilizando uma construção auxiliar:

Encontre o valor do segmento CP Semttulonryd

resolução:

por **Giiovanna** Sex 18 Jan 2013, 13:42

Tomando AC = BD como a altura do triângulo CDM, que é equilátero, em relação a CD, temos:

AC = BD = h = (l√3)/2

Como l = 18, h = 9√3

Para p triângulo ACD, pelo teorema de Pitágoras:
AD^2 = (18)^2 + (9√3)^2 = 324 + 243, AD=√567
senCAD = 18/√567 e cosCAD=9√3/√567

Para o triângulo CAM, sabendo que M é o ponto médio de AB (pois o triângulo é equilátero, temos:

senACM = 9/18 = 1/2 e cosACM = √3/2 , ACM=30°

Sabendo que APC = 180 - ACM - CAD = 150-CAD, calcule o seno de APC e utilize o teorema dos senos no triângulo CPA.

Acho que é isso

Ok, ok, vou terminar de resolver...

senAPC = sen30°.cosCAD - senCAD.(-cos30°)
senAPC=1/2.9√3/√567 + 18/√567.√3/2
senAPC= 9√3/2√567+18√3/2√567
senAPC=27√3/2√567

Aplicando o teorema dos senos:

CP/senCAD = AC/senAPC
CP/18= 9/(27/2)

9√3.27√3/2√567 = CP.18/√567
2/3 = CP/18 , CP=12

Bateu com o resultado do Leo.

por **Giiovanna** Sex 18 Jan 2013, 13:43

Boa solução, Leo. Coloquei uma trigomométrica, mas não concluí os cálculos para saber se dá certo.

por FernandoPP- Sex 18 Jan 2013, 13:48

- AB = 18
- AC = 18.√3/2 = 9√3
- BC² = (18)² + (9√3)² ⇒ BC = 9√7

Fórmula da mediana em um triângulo qualquer: [∆ ABC]
$\\CM = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}\\\\ \\CM = \frac{1}{2}\sqrt{2.(9\sqrt{3})^2+2.(9\sqrt{7})^2-18^2}\\\\\\ CM = \frac{1}{2}\sqrt{486+1134-324}\\\\\\ {\color{Red} CM = 18}$

Como P é o baricentro, CP = (2/3).(18) ⇒ CP = 12

por **Leonardo Sueiro** Sex 18 Jan 2013, 13:49

Valeu Gi. Vê se você consegue achar algum equívoco =P

por **Giiovanna** Sex 18 Jan 2013, 13:54

Leonardo Sueiro escreveu:Valeu Gi. Vê se você consegue achar algum equívoco =P

Não entendi a altura do triângulo PNQ

por **raimundo pereira** Sex 18 Jan 2013, 14:04

Gostei da "sacada" do baricentro.

por **Matheus Vilaça** Sex 18 Jan 2013, 14:05

Olá pessoal!
Eu não tenho o gabarito pois essa questão foi de um concurso de bolsa que eu prestei e eu postei ela pois foi a única de Matemática que eu não consegui resolver.

Pois é Giiovana, pra mim também tá estranho a altura do triângulo PNQ, pois por Pitágoras descobrimos que BD=9√3. Assim se chamarmos de m a altura de PQM, a altura de PNQ será (9√3)/2 - m e não 18-m.
O que é que você fez ali Leonardo Sueiro?