Determinar valor de segmento a partir das áreas

por caca-filho Seg 02 Jul 2012, 22:32

O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD.
Determinar valor de segmento a partir das áreas Segmento

Determinar valor de segmento a partir das áreas Segmento

por **parofi** Seg 16 Jul 2012, 10:07

Sejam x=AB,y=AC, DE丄AB e DF丄AC. Área [ABD]=x.DE/2;área [ADC]=y.DF/2;área [ABC]=xy/2. Como cada uma destas áreas é 1/3 da área de [ABC], vem: xDE=xy/3 ↔ DE=y/3 e yDF=xy/3 ↔ DF=x/3. Como [AEDF]é um retângulo, pelo T.Pitágoras: AD²=(x/3)²+(y/3)²=(x²+y²)/9=18²/9, pois [BC] retângulo em A. Logo, AD=18/3=6.

por **raimundo pereira** Seg 16 Jul 2012, 11:18

Bom dia Parofi,

Creio que também podemos resolver assim:
I - Se o triângulo ABC está dividido em 3 áreas equivalentes , conclui-se que o ponto D é o baricentro do triângulo ABC.

II - Se o triângulo ABC é retângulo em A , a mediana relativa ao lado BC é igual a metade do segmento BC (priopriedade da mediana no triângulo retângulo).

III - Com isso podemos afirmar que a mediana relativa ao lado BC mede 9 , consequentemente, pela propriedade das medianas , o segmento AD=2/3 . 9 = 6cm

att Raimundo

por **parofi** Seg 16 Jul 2012, 14:40

Boa tarde Raimundo:

É de facto uma resolução bastante mais prática.

Eu já não me recordava da propriedade II (ainda bem que a escreveu).

Um abraço,

parofi

por **Elcioschin** Seg 16 Jul 2012, 17:47

Parofi

Somente para relembrar o motivo da mediana relativa a BC ser a metade de BC:

ABC é um triângulo retângulo logo é inscritível numa semicircunferência tendo BC com diâmetro

Neste caso o comprimento da mediana é o raio da circunferência (medade do diâmetro BC)