Óptica II

Um objeito de altura y está fixo, a uma distância D de uma tela de projeção, também fixa. Uma lente convergente de vergência V pode ser interposta entre o objeto e a tela, para projetar imagens nítidas na tela.
a) Prove que há 2 posições apenas que garantem imagens nítidas.
b) Calcule a relação entre os tamanhos das imagens formadas considerando o item a), em função dos dados do problema.
c) Calcule a distância de separação entre as duas posicções que garantem nitidez, em função dos dados do problema.

p + p' = D ---> 1/f = V

1) Suponha inicialmente p < p'

1/f = 1/p + 1/p' ---> 1/f = (p + p')/p.p' ---> V = D/p.p' --> p.p' = D/V ---> I

I1/y = - p'/p  ---> I1 = - y.p'/p ---> II

2) Podemos agora mover a lente, indo para mais perto do anteparo, de modo que a distância de y lente seja p' e, obviamente, a distância da imagem I2 à lente seja p:

1/f = 1/p' + 1/p ---> Note que a equação é a mesma , logo --->  I2 = - y.p/p' ---> III

II : III ---> I1/I2 = (p'/p)² ---> IV

Temos agora o sistema ---> p + p' = D e p.p' = D/V ---> Montamos a equação do 2º grau:

p.(D - P) = D/V ---> V.p² - V.D.p + D = 0 ---> ∆ = V².D² - 4.V.D

p = (V - √∆)2.V ---> p' = (V + √∆)/2.V ---> Calcule p, p'

Basta agora calcular I1/I2 = (p'/p)² ---> em função de V, D


b) A distância x das posições das duas lentes será --> x = p' - p ---> x = √∆/V ---> Complete

Bom dia, Elcioschin. Primeiramente, obrigado pela resposta, me ajudou a encontrar um erro! Eu fiz o seguinte:
a) Sendo p a distância do objeto à lente:
V = 1/p + 1/(D-p)
Vp(D-p) = D
Vp² - VDp + D = 0
p = (VD +- √((VD)² - 4VD))/(2V) = (VD +- √∆)/(2V) e como V e D são valores fixos e positivos, há apenas dois valores de p que garantem imagens nítidas.

b) i1 = -yp'/p
i2 = -yp''/p

i1/i2 = p'/p'' = [D - (VD + √∆)/(2V)]/[D - (VD - √∆)/(2V)]
i1/i2 = (VD - √∆)/(VD + √∆)

c) (VD + √∆)/(2V) - (VD - √∆)/(2V) = √∆/V

Porém, o item a) não tem resposta e as outras duas divergem do encontado. Vê algum erro?

Não vejo erro algum na sua solução.

Muito obrigado pela sua solução e por verificar a minha.