Inequações Modulares III

por Thiago Casanova Qui maio 14 2015, 16:34

Seja a inequação │2 - 1/x│ ≤ 5. Quantas de suas soluções são números inteiros positivos e menores que 30?

Gabarito: 29

por **Carlos Adir** Qui maio 14 2015, 18:44

$\\ \mathrm{\left|2-\dfrac{1}{x}\right| \le 5} \\ \mathrm{-5 \le 2 - \dfrac{1}{x} \le 5} \\ \mathrm{-7 \le - \dfrac{1}{x} \le 3}$
$\mathrm{7 \ge \dfrac{1}{x} \ge -3}$
Nessa hora devemos tomar alguns cuidados.
Podemos verificar, que se x for um número pequeno, por exemplo 0,01, então o resultado de 1/x será 100, deste modo, x não pode ser um número pequeno.
Ou seja, há um limite de sua "pequenez", e isso pode ser obtida do modo de separarmos os dois casos:
$\begin{cases}\mathrm{7 \ge \dfrac{1}{x}} \\ \mathrm{\dfrac{1}{x} \ge -3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{x \ge \dfrac{1}{7}} \\ \mathrm{x \le \dfrac{1}{-3}} \end{cases}$

Deste modo, é necessário que seja maior que 1/7, ou menor que -1/3.
Veja que nem é necessário verificar se x=0, pois está fora do intervalo.
Se formos observar todos os números entre 1/7 e 30, temos o 1, 2, 3, ..., 29 e o 30.
Deste modo, de 1/7 até 30 são 29 números.

E como os menores que -1/3 não são positivos, uma condição essencial do enunciado, então não pegamos qualquer número menor que -1/3

por **Elcioschin** Qui maio 14 2015, 19:48

Um outro modo de explicar, a partir de - 7 =< - 1/x =< 3
Vamos dividir em duas inequações:

1) - 7 =< - 1/x ---> 1/x - 7 =< 0 ---> (1 - 7x)/x =< 0

Tabela de sinais;

.......................... 0 ..................... 1/7 .............
1 - 7x ..... + ................... + ........... 0 ..... - ....
x ............ - ........ N ........ + .................... + ....
Fim ......... - ........ N ........ + .................... - .....

Soluções ---> x < 0 (não serve) e x >= 1/7

2) - 1/x =< 3 ---> 1/x + 3 >= 0 ---> (1 + 3x)/x >= 0 ---> - 1/3 =< x < 0 (não serve)

Solução fibnal ---> x >= 1/7