Triângulo retângulo

(Efei-MG)
Um triângulo ABC, em que a medida do ângulo A é de
90°, possui área igual a 30 m2 e está circunscrito a um
círculo de raio 2 m. Pede-se encontrar:
a) a medida de cada um dos lados do triângulo;
b) a relação existente entre o raio R da circunferência
que circunscreve o triângulo ABC e a altura h
relativa à hipotenusa.

Isabel Matos escreveu:(Efei-MG)
Um triângulo ABC, em que a medida do ângulo A é de
90°, possui área igual a 30 m2 e está circunscrito a um
círculo de raio 2 m. Pede-se encontrar:
a) a medida de cada um dos lados do triângulo;
b) a relação existente entre o raio R da circunferência
que circunscreve o triângulo ABC e a altura h
relativa à hipotenusa.

Boa tarde, Isabel.

b,c = catetos
a = hipotenusa

Faça o esboço do triângulo retângulo, tendo A como ângulo reto e trace o círculo inscrito. Identifique os pontos de tangência assim:
P sobre o cateto AB.
Q sobre o cateto AC.
R sobre a hipotenusa BC.

Teremos, portanto:
AB = cateto b = AP + PB = 2+x
AC = cateto c = AQ + QC = 2+y
BC = hipot. a = BR + RC = x + y

A = p.r
p = (2+x + 2+y + x+y)/2 = (2x + 2y + 4)/2 = x+y+2

30 = (x+y+2).2
30 = 2x + 2y + 4
2x + 2y = 30 - 4
2(x + y) = 26
x + y = 26/2
x + y = 13 ................ (I) 
y = 13 - x ................. (II)

Por outro lado, também podemos fazer:
A = (x+2)(y+2)/2
30 = [xy + 2(x+y) + 4]/2
2*30 = xy + 2(x+y) + 4

xy + 2(x+y) + 4 = 60
xy + 2(x+y) = 60 - 4
xy + 2(x+y) = 56 ........ (III)

Aplicando-se (I) e (II) em (III), vem:
x(13-x) + 2(13)] = 56
13x - x² + 26 = 56
x² - 13x + 56 - 26 = 0
x² - 13x + 30 = 0

Resolvendo equação acima por Bhaskara, fica:
x' = 10
x" = 3

y' = 13-x' = 13-10 = 3
y" = 13-x" = 13-3 = 10


Assim, podemos responder:
Os lados do triângulo medem:
b = 2+x = 2+10 = 12 (ou 2+3=5) cm
c = 2+y = 2+3 = 5 (ou 2+10=12) cm
a = hipotenusa = 13 cm

Resposta (a): 5, 12 e 13 cm.

Raio que circunscreve o triângulo ABC:
Em um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência, a hipotenusa é igual ao diâmetro da circunferência; logo:
Raio da circunferência circunscrita ao triângulo = 13/2 cm

Altura em relação à hipotenusa:
b*c/a = 5*12/13 = 60/13 cm

Relação solicitada:
R/h = (13cm/2)/(60cm/13) = 13cm/2 * 13/60cm = 169/120

Resposta (b): R/h = 169/120



Um abraço.

Seja AB = c e AC = b

S = 30 ---> b.c/2 = 30 ---> b.c = 60 ---> I

r = (b + c - a)/2 ---> 2 = (b + c - a)/2 ---> b + c = a + 4 ---> II

II ---> (b + c)² = (a + 4)² ---> (b² + c²) + 2.bc = a² + 8a + 16 ---> a² + 2.60 = a² + 8a + 16

8a = 104 ---> a = 13

II --->  b + c = 13 + 4 ---> b + c = 17 ---> c = 17 - b

I ---> b.(17 - b) = 60 ---> b² - 17b +  60 = 0 ---> b = 12 ---> c = 5

b) R = a/2 ---> a = 2.R ---> a.h = b.c ---> 2.R.h = 5,12 ---> R.h = 30

outro modo

Muito obrigada, mestres!