Sistemas
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Sistemas
por BiancaSiqueira Qua 31 Dez 2014, 03:59
Considere o sistema:
x + 1/2(y+z) = p
y + 1/2(x+z) = p
z + 1/2(y+x) = p
a) Mostre que se tal sistema tem solução (x,y,z) com x, y e z inteiros, então o parâmetro p é múltiplo inteiro de 17.
b) Reciprocamente, mostre que se o parâmetro p for múltiplo de 17, então este sistema tem solução (x,y,z) com x, y e z inteiros.
Só cheguei nisso:
x=y=z
Det=2 (mostra que é possível e determinado)
p=2x
.
x + 1/2(y+z) = p
y + 1/2(x+z) = p
z + 1/2(y+x) = p
a) Mostre que se tal sistema tem solução (x,y,z) com x, y e z inteiros, então o parâmetro p é múltiplo inteiro de 17.
b) Reciprocamente, mostre que se o parâmetro p for múltiplo de 17, então este sistema tem solução (x,y,z) com x, y e z inteiros.
Só cheguei nisso:
x=y=z
Det=2 (mostra que é possível e determinado)
p=2x
.
BiancaSiqueira- Recebeu o sabre de luz
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Re: Sistemas
por PedroCunha Qua 31 Dez 2014, 04:36
Olá, Bianca.
Letra a:
\\ D = \begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} \therefore D = 1 + \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}
Então o sistema tem solução única.
Vamos escaloná-lo:
\\ \begin{cases} 2x + y + z = 2p \dots I \\ x + 2y + z = 2p \dots II \\ x+y+2z = 2p \dots III \end{cases} \\\\ \circ I - II: x - y = 0 \therefore x = y \\ \circ III - II: z - y = 0 \therefore z = y \Leftrightarrow x=y=z \\\\ \Leftrightarrow 2x+y+z = 2p \therefore 2x+x+x = 2p \therefore 4x = 2p \therefore x = y = z = \frac{p}{2}
Ou seja, o sistema tem solução com \\ x, y, z \in \mathbb{Z} se e somente se p \in \{0,2,4,6,8, \dots 2k\}, k \in \mathbb{Z} . As proposições feitas pela UNICAMP são falsas ! Essa questão foi anulada.
Abraços,
Pedro
Letra a:
Então o sistema tem solução única.
Vamos escaloná-lo:
Ou seja, o sistema tem solução com
Abraços,
Pedro
PedroCunha- Monitor
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Re: Sistemas
por Elcioschin Qua 31 Dez 2014, 09:49
Pedro
Como x, y, z são inteiros, p deve ser par, mas pode também ser negativo
Assim, o correto deveria ser p ε {0, ±2, ±4, ±6, ±8, .... 2k} com k ε Z
Como x, y, z são inteiros, p deve ser par, mas pode também ser negativo
Assim, o correto deveria ser p ε {0, ±2, ±4, ±6, ±8, .... 2k} com k ε Z
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