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Questão de triângulos - geometria-Bissetrizes

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Questão de triângulos - geometria-Bissetrizes Empty Questão de triângulos - geometria-Bissetrizes

Mensagem por Matheusdomingos Sáb 06 Dez 2014, 12:03

Num triangulo abc retângulo em C, as bissetrizes dos ângulos A e B intersectam os lados BC e AC nos pontos D e E respectivamente. Se CD=9 e CE=8, o perímetro do triângulo ABC é igual a:
a)30
b)36
c)45
d)64
e)72
Gabarito: E
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Mensagem por Elcioschin Sáb 06 Dez 2014, 14:14

Vou começar:

Sejam AC = b, BC = a, AB = c ---> a² + b² = c² ---> I

Seja BÂC = 2x ---> CÂD = BÂD = x

A^BC = 90º - 2x ---> A^BE = C^BE = 45º - x

CD = 9 ---> BD = a - 9 ---> CE = 8 ---> AE = b - 8

Teorema da bissetriz interna:

1) AC/CD = AB/BD ---> b/9 = c/(a - 9) ---> a.b = 9.b + 9.c


2) BC/CE = AB/AE ---> a/8 = c/(b - 8 ) ---> a.b = 8.a + 8.c


9b + 9c = 8a + 8c ---> 9b + c = 8a ---> II

AD² = AC² + CD² ---> AD² = b² + 9² ---> AD² = b² + 81 ---> III
BE² = BC² + CE² ---> BE² = a² + 8² ----> BE² = a² + 64 ---> IV


AD.cosCÂD = AC ---> AD.cosx = b  ---> AD².cos²x = b² ---> cos²x = b²/(b² + 81) ---->

(b/c)² = b²/(b² + 81) ---> b²/c² = b²/(b² + 81) ---> c² = b² + 81 --->  V

BE.cosC^BE = BC ---> BE.cos(45º - x) = a ---> BE.(cos45º.cosx + sen45º.senx) = a --->

BE.[(1/√2).cosx + (1/ √2).senx) = a ---> BE.(senx + cosx) = √2.a --->

BE².(sen°x + cos²x + 2.senx.cosx) = 2a² ---> (a² + 64).[1 + sen(2x)] = 2a² --->

(a² + 64).(1 + a/c) = a² ---> a² + 64 = c.a²/(a + c) ---> VI

Eis as equações. Por favor confira as contas

Deixo para você resolver o sistema e calcular a, b, c e o perímetro
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Mensagem por Matheusdomingos Dom 07 Dez 2014, 13:38

Poxa consegui não!
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Mensagem por Luccanaval Seg 08 Dez 2014, 18:07

AB=c,AC=B,BC=a
c^2=a^2+b^2
Teorema das bissetrizes


8c=ab-8a--->I
Na outra bissetriz

9c=ab-9b--->II
c=8a-9b--->II-I
c^2=64a^2 - 144ab +81b^2
a^2+b^2=64a^2 -144ab+81b^2
63a^2 - 144ab+80b^2=0
raízes--->a=4b/3 ou a=20b/21
Testando a 1 no c
c=8(4b/3)-9b
c=5b/3-->OK
Testando a 2 no c
c=8(20b/21)-9b
c=-29b/21--->Nao Serve
Logo c=5b/3 e a=4b/3 jogando no I
8(5b/3)=(4b/3)b-8(4b/3)
b=18
a=24
c=30
a+b+c=72
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Mensagem por Matheusdomingos Seg 08 Dez 2014, 20:34

Obrigado!
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