Questão de triângulos - geometria-Bissetrizes
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Questão de triângulos - geometria-Bissetrizes
Num triangulo abc retângulo em C, as bissetrizes dos ângulos A e B intersectam os lados BC e AC nos pontos D e E respectivamente. Se CD=9 e CE=8, o perímetro do triângulo ABC é igual a:
a)30
b)36
c)45
d)64
e)72
Gabarito: E
a)30
b)36
c)45
d)64
e)72
Gabarito: E
Matheusdomingos- Padawan
- Mensagens : 52
Data de inscrição : 11/03/2014
Idade : 24
Localização : Rio de janeiro, Rio de Janeiro, Brasil
Re: Questão de triângulos - geometria-Bissetrizes
Vou começar:
Sejam AC = b, BC = a, AB = c ---> a² + b² = c² ---> I
Seja BÂC = 2x ---> CÂD = BÂD = x
A^BC = 90º - 2x ---> A^BE = C^BE = 45º - x
CD = 9 ---> BD = a - 9 ---> CE = 8 ---> AE = b - 8
Teorema da bissetriz interna:
1) AC/CD = AB/BD ---> b/9 = c/(a - 9) ---> a.b = 9.b + 9.c
2) BC/CE = AB/AE ---> a/8 = c/(b - 8 ) ---> a.b = 8.a + 8.c
9b + 9c = 8a + 8c ---> 9b + c = 8a ---> II
AD² = AC² + CD² ---> AD² = b² + 9² ---> AD² = b² + 81 ---> III
BE² = BC² + CE² ---> BE² = a² + 8² ----> BE² = a² + 64 ---> IV
AD.cosCÂD = AC ---> AD.cosx = b ---> AD².cos²x = b² ---> cos²x = b²/(b² + 81) ---->
(b/c)² = b²/(b² + 81) ---> b²/c² = b²/(b² + 81) ---> c² = b² + 81 ---> V
BE.cosC^BE = BC ---> BE.cos(45º - x) = a ---> BE.(cos45º.cosx + sen45º.senx) = a --->
BE.[(1/√2).cosx + (1/ √2).senx) = a ---> BE.(senx + cosx) = √2.a --->
BE².(sen°x + cos²x + 2.senx.cosx) = 2a² ---> (a² + 64).[1 + sen(2x)] = 2a² --->
(a² + 64).(1 + a/c) = a² ---> a² + 64 = c.a²/(a + c) ---> VI
Eis as equações. Por favor confira as contas
Deixo para você resolver o sistema e calcular a, b, c e o perímetro
Sejam AC = b, BC = a, AB = c ---> a² + b² = c² ---> I
Seja BÂC = 2x ---> CÂD = BÂD = x
A^BC = 90º - 2x ---> A^BE = C^BE = 45º - x
CD = 9 ---> BD = a - 9 ---> CE = 8 ---> AE = b - 8
Teorema da bissetriz interna:
1) AC/CD = AB/BD ---> b/9 = c/(a - 9) ---> a.b = 9.b + 9.c
2) BC/CE = AB/AE ---> a/8 = c/(b - 8 ) ---> a.b = 8.a + 8.c
9b + 9c = 8a + 8c ---> 9b + c = 8a ---> II
AD² = AC² + CD² ---> AD² = b² + 9² ---> AD² = b² + 81 ---> III
BE² = BC² + CE² ---> BE² = a² + 8² ----> BE² = a² + 64 ---> IV
AD.cosCÂD = AC ---> AD.cosx = b ---> AD².cos²x = b² ---> cos²x = b²/(b² + 81) ---->
(b/c)² = b²/(b² + 81) ---> b²/c² = b²/(b² + 81) ---> c² = b² + 81 ---> V
BE.cosC^BE = BC ---> BE.cos(45º - x) = a ---> BE.(cos45º.cosx + sen45º.senx) = a --->
BE.[(1/√2).cosx + (1/ √2).senx) = a ---> BE.(senx + cosx) = √2.a --->
BE².(sen°x + cos²x + 2.senx.cosx) = 2a² ---> (a² + 64).[1 + sen(2x)] = 2a² --->
(a² + 64).(1 + a/c) = a² ---> a² + 64 = c.a²/(a + c) ---> VI
Eis as equações. Por favor confira as contas
Deixo para você resolver o sistema e calcular a, b, c e o perímetro
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
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Localização : Santos/SP
Re: Questão de triângulos - geometria-Bissetrizes
Poxa consegui não!
Matheusdomingos- Padawan
- Mensagens : 52
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Idade : 24
Localização : Rio de janeiro, Rio de Janeiro, Brasil
Re: Questão de triângulos - geometria-Bissetrizes
AB=c,AC=B,BC=a
c^2=a^2+b^2
Teorema das bissetrizes
8c=ab-8a--->I
Na outra bissetriz
9c=ab-9b--->II
c=8a-9b--->II-I
c^2=64a^2 - 144ab +81b^2
a^2+b^2=64a^2 -144ab+81b^2
63a^2 - 144ab+80b^2=0
raízes--->a=4b/3 ou a=20b/21
Testando a 1 no c
c=8(4b/3)-9b
c=5b/3-->OK
Testando a 2 no c
c=8(20b/21)-9b
c=-29b/21--->Nao Serve
Logo c=5b/3 e a=4b/3 jogando no I
8(5b/3)=(4b/3)b-8(4b/3)
b=18
a=24
c=30
a+b+c=72
c^2=a^2+b^2
Teorema das bissetrizes
8c=ab-8a--->I
Na outra bissetriz
9c=ab-9b--->II
c=8a-9b--->II-I
c^2=64a^2 - 144ab +81b^2
a^2+b^2=64a^2 -144ab+81b^2
63a^2 - 144ab+80b^2=0
raízes--->a=4b/3 ou a=20b/21
Testando a 1 no c
c=8(4b/3)-9b
c=5b/3-->OK
Testando a 2 no c
c=8(20b/21)-9b
c=-29b/21--->Nao Serve
Logo c=5b/3 e a=4b/3 jogando no I
8(5b/3)=(4b/3)b-8(4b/3)
b=18
a=24
c=30
a+b+c=72
Luccanaval- Recebeu o sabre de luz
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Matheusdomingos- Padawan
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