Questão de Geometria (Triângulos)
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Questão de Geometria (Triângulos)
por elias.aragao Qua 25 maio 2016, 12:34
(Fonte Desconhecida)
A área de um triângulo é dada pela fórmula S = a² + b² /4, onde a e b são dois de seus lados.
Determine os ângulos do triângulo.
Res.: 90°, 45° e 45°.
Fiquei muito tempo lendo e relendo essa questão mas não saiu nada.
Obrigado desde já!!
A área de um triângulo é dada pela fórmula S = a² + b² /4, onde a e b são dois de seus lados.
Determine os ângulos do triângulo.
Res.: 90°, 45° e 45°.
Fiquei muito tempo lendo e relendo essa questão mas não saiu nada.
Obrigado desde já!!
elias.aragao- Iniciante
- Mensagens : 19
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Localização : Rio de Janeiro
al171 gosta desta mensagem
Re: Questão de Geometria (Triângulos)
por al171 Qui 02 Fev 2023, 22:04
\[
\begin{align*}
\frac{a^2 + b^2}{4} & = \frac{ ab \sin \theta }{2} \\
\sin \theta = \frac{a^2 + b^2}{2ab}
\end{align*}
\]
Utilizamos a seguinte desigualdade para investigar o valor de \( \sin \theta \):
\[
\begin{align*}
( a - b )^2 \geq & 0 \\
a^2 + b^2 \geq & 2ab \\
\frac{ a^2 + b^2}{ 2ab} \geq & 1
\end{align*}
\]
Assim, como a função seno varia de \( -1 \) a \( 1 \), tomamos o caso em que \( \sin \theta = 1 \). Logo, o maior ângulo do triângulo é 90°.
Além disso, pelo fato de \( \sin \theta = 1 \),
\[
a^2 + b^2 = 2ab \Leftrightarrow a = b
\]
Assim, o triângulo, além de ser retângulo, é isósceles de modo que seus ângulos são 90°, 45° e 45°.
\begin{align*}
\frac{a^2 + b^2}{4} & = \frac{ ab \sin \theta }{2} \\
\sin \theta = \frac{a^2 + b^2}{2ab}
\end{align*}
\]
Utilizamos a seguinte desigualdade para investigar o valor de \( \sin \theta \):
\[
\begin{align*}
( a - b )^2 \geq & 0 \\
a^2 + b^2 \geq & 2ab \\
\frac{ a^2 + b^2}{ 2ab} \geq & 1
\end{align*}
\]
Assim, como a função seno varia de \( -1 \) a \( 1 \), tomamos o caso em que \( \sin \theta = 1 \). Logo, o maior ângulo do triângulo é 90°.
Além disso, pelo fato de \( \sin \theta = 1 \),
\[
a^2 + b^2 = 2ab \Leftrightarrow a = b
\]
Assim, o triângulo, além de ser retângulo, é isósceles de modo que seus ângulos são 90°, 45° e 45°.
al171- Fera
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