Volume do sólido - Integral

Calcular o volume do sólido limitado superiormente por z = 1 - y e inferiormente pelo retângulo é definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.

Tenho muita dificuldade em esboçar o problema para resolver a integral. Alguém me explica o passo-a-passo de preferência com a imagem?

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Olá Pietro, 

observe que z = 1 - y é uma equação de primeiro grau. Isto significa que entre os planos y e z, será formado uma reta inclinada de cima pra baixo e que corta o eixo z em 1. 

Se não enxergou isto diretamente pela equação acima, procure colocar na ordem para facilitar:

z = -y + 1 

Daqui você tira que a = -1 e b = 1.

Quando z cortar o eixo y, o ponto estára em (1, 0). 

Quanto ao retângulo da região R é muito simples. Trata-se apenas de um retângulo 1 x 1, isto é, 1 unidade no eixo x e uma unidade no eixo y. 

A figura formada será uma rampa. Tentei fazer uma imagem para facilitar a visualização, segue a obra de arte:

Perceba também que o plano formado entre os eixos y e z projeta-se para o infinito. Representei apenas a intersecção entre o plano e a região R.

MCarsten, boa tarde!

Achei sua explicação boa mas é porque tenho muita dificuldade na criação do plano.

Sabe de alguma vídeo-aula ou algum material que pode me auxiliar na compreensão? Tenho próximo semana que vem mas não estou conseguindo aprender de jeito algum

Obrigado,

Pietro

Olá Pietro,

em caso de uma função que seja constituída por mais de uma variável, como por exemplo f(x, y) = 2x + 2y + 1 (possui x e y numa função de z), você deve consultar sua tabela, que deve ter em seu livro de Cálculo, basta deixá-la na forma padrão. Isto bastará para sólidos notórios como hiperbolóides, parabolóides e elipsóides. Sugiro que revise o capítulo sobre Superfícies Quádricas.

Para figuras mais simples como retas, circunferências ou então cortes no plano, trabalhe como se você estivesse apenas no plano bidimensional. 

Recomendo o uso de algum software gráfico como o WinPlot (gratuito) e o MATLAB (requer licença). Facilita bastante para visualizar as figuras.