Raiz da equação II - Leia antes de bloquear

por **Ashitaka** Sáb 25 Out 2014, 07:25

Dado um número real x e seja {x} a parte fracionária de x, isto é, {x} = x - [x], onde [x] representa o maior inteiro menor ou igual x, uma raiz da equação [x] * {x} = 2002x é:
a) -1/1999
b) -1/2000
c) -1/2001
d) -1/2002
e) -1/2003

Meu outro post foi bloqueado, porém não foi duplicidade. Lendo o post inteiro vê-se que a questão é diferente.
Comparem:
https://pir2.forumeiros.com/t78466-raiz-da-equacao
https://pir2.forumeiros.com/t78526-raiz-da-equacao-ii

por Luck Dom 26 Out 2014, 10:45

Ashitaka, tem um modo bem mais rápido de resolver esta questão e a anterior: basta olhar as alternativas, como todos os valores são -0,0...(algo), então necessariamente a raiz que queremos tem [x] = -1 :
[-1/1999]=[-1/2000]=[-1/2001]=[-1/2002]=[-1/2003] = -1

[x](x- [x]) = 2002x , sendo [x] = -1:
(-1)(x +1) = 2002x
-x - 1 = 2002x
2003x = -1
x = -1/2003

por **Ashitaka** Dom 26 Out 2014, 13:10

Verdade. Obrigado, Luck. Falando de vestibular, não acho que esse tipo de questão caia nem nos militares, porém preciso saber resolver para um outro fim; sendo que interessa só resolver a questão mesmo, fazer com as alternativas é uma boa opção.

por Luck Dom 26 Out 2014, 21:58

[x] (x - [x] ) = 2002x
da definição, [x] = k , k ≤ x < k + 1 , k ∈ Z .

k(x-k) = 2002x
kx - k² = 2002x
kx -2002x = k²
x(k-2002) = k²
x = k²/(k-2002)

k ≤ k²/(k-2002) < k + 1

k²/(k-2002) ≥ k
[k²/(k-2002)] - k ≥ 0
(k² -k² +2002k)/(k-2002) ≥ 0
(2002k)/(k-2002) ≥ 0
k > 2002 ou k ≤ 0 (i)

k²/(k-2002) < k+1
[k²/(k-2002)] - k-1 < 0
(k² -k² +2002k -k +2002)/(k-2002) < 0
(2001k+2002)/(k-2002) < 0
(-2002)/2001 < k < 2002 (ii)

(i) ∩ (ii) :
-2002/2001 < k ≤ 0
possíveis valores inteiros: k = 0 ou k = -1
Logo, x = 0 ou x = -1/2003