Equação Logaritima, problema de uma raiz com indice em raiz

por brucemanolo Qui 03 maio 2012, 17:26

Bom galera, como de costume, tentei resolver de todas as formas antes de falar-vos, mas realmente, não houve outra alternativa, a não ser buscar ajuda.

O enunciado da questão diz o seguinte:

Se k é a solução da equação $\log_{2}(x+1)+\log_{2}(x-1)=3$ então $k^{-\frac{1}{k}}$ é?

a) $\frac{\sqrt[3]{9}}{3}$
b) $\frac{\sqrt[3]{7}}{3}$
c) $\frac{\sqrt[3]{9}}{2}$
d) $\sqrt[3]{3}$
e) $\frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

e fiz, conforme abaixo:

$\inline \log_{2}(x+1)+\log_{2}(x-1)=3 \rightarrow \log_{2}(x+1)\times (x-1)=3 \rightarrow \log_{2}(x^{2}+1)=3 \rightarrow 2^{3}=x^{2}+1 \rightarrow x^{2}=2^{3}-1 \rightarrow x=\sqrt{7} \rightarrow s=\left \{\sqrt{7} \right \} \rightarrow k=s \rightarrow k=\sqrt{7}$

Mas ai é que vem a duvida:

sendo $k^{-\frac{1}{k}}$

então $\inline \sqrt{7}^{-\frac{1}{\sqrt{7}}} \rightarrow \sqrt[\sqrt{7}]{\sqrt{7}^{-1}}$ ...

ai é que vem a pergunta, como resolver essa encrenca? =(

por **ivomilton** Qui 03 maio 2012, 19:27

brucemanolo escreveu:Bom galera, como de costume, tentei resolver de todas as formas antes de falar-vos, mas realmente, não houve outra alternativa, a não ser buscar ajuda.

O enunciado da questão diz o seguinte:
Se k é a solução da equação $\log_{2}(x+1)+\log_{2}(x-1)=3$ então $k^{-\frac{1}{k}}$ é?

a) $\frac{\sqrt[3]{9}}{3}$
b) $\frac{\sqrt[3]{7}}{3}$
c) $\frac{\sqrt[3]{9}}{2}$
d) $\sqrt[3]{3}$
e) $\frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

e fiz, conforme abaixo:

$\inline \log_{2}(x+1)+\log_{2}(x-1)=3 \rightarrow \log_{2}(x+1)\times (x-1)=3 \rightarrow \log_{2}(x^{2}+1)=3 \rightarrow 2^{3}=x^{2}+1 \rightarrow x^{2}=2^{3}-1 \rightarrow x=\sqrt{7} \rightarrow s=\left \{\sqrt{7} \right \} \rightarrow k=s \rightarrow k=\sqrt{7}$

Mas ai é que vem a duvida:

sendo $k^{-\frac{1}{k}}$

então $\inline \sqrt{7}^{-\frac{1}{\sqrt{7}}} \rightarrow \sqrt[\sqrt{7}]{\sqrt{7}^{-1}}$ ...

ai é que vem a pergunta, como resolver essa encrenca? =(

Boa noite, Bruce.

Ocorre que (x+1)(x-1) = (x²-1) e o amigo colocou (x²+1) como resultado.
Corrija essa parte, continue o cálculo, e você chegará à solução.

Um abraço.