Raiz da equaçao

por Fernanda Martins Seg 12 Nov 2012, 16:44

As soluções da equação x³-30x²+281x-270=0 são três números inteiros distintos,que também são as medidas dos lados de um triângulo retângulo.

A. Mostre que,se a>b>c são as raízes, então (b+c)²=a²+2bc
B. Determine a maior raiz da equação.

por **denisrocha** Seg 12 Nov 2012, 16:53

a) b² + c² = a² ---> (b + c)² - 2bc = a² ---> (b + c)² = a² + 2bc

b) pela 1ª relação de Girard, a soma das raízes é:
a + b + c = 30

pela 2ª relação de girard, a soma das raízes tomadas duas a duas é:
ab + ac + bc = 281

sabendo que todas são números inteiros, eleve a primeira relação ao quadrado:
(a + b + c)² = 30²
a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc) = 900
a² + b² + c² +2(281) = 900
a² + (b² + c²) = 338, mas b² + c² = a² (teorema de Pitágoras no triângulo retângulo), então:
a² + a² = 338 ---> a² = 169 ---> a = 13

por **ivomilton** Seg 12 Nov 2012, 18:41

Fernanda Martins escreveu:As soluções da equação x³-30x²+281x-270=0 são três números inteiros distintos,que também são as medidas dos lados de um triângulo retângulo.

A. Mostre que,se a>b>c são as raízes, então (b+c)²=a²+2bc
B. Determine a maior raiz da equação.

Boa tarde,

Lados do triângulo retângulo: a, b, c (sendo "a" a hipotenusa)

(x-a)(x-b)(x-c) = x³ -(a+b+c)x² + (ab+ac+bc)x - abc = x³-30x²+281x-270

Donde deduzimos:
a+b+c = 30
ab+ac+bc = 281
abc = 270

Triângulo retângulo de lados inteiros com perímetro igual a 30:
A formação de um triângulo retângulo pitagórico pode vir de:
Cateto1..... = 2ab
Cateto2..... = a²-b²
Hipotenusa = a²+b²
-----------------------
Soma = 30 = 2a²+2ab

Simplificando por 2, vem:
a² + ab = 15
a(a+b) = 15

15 = 1*15 = 3*5

Logo, poderemos ter: 1(1+14) ou 3(3+2).
Contudo, deve-se ter a>b, donde vemos que somente a segunda opção poderá servir.

Fazendo, nas fórmulas dos lados do triângulo pitagórico:
a=3
b=2

Obtemos:
2ab = 2*3*2 = 12
a²-b² = 3²-2² = 5
a²+b² = 3²+2² = 13

A. Mostre que,se a>b>c são as raízes, então (b+c)²=a²+2bc

(b+c)² = b² + 2ab + c²
b² + c² = a² (hipotenusa)

Substituindo b²+c² por a² no segundo membro, fica:
(b+c)²= a² + 2ab

B. Determine a maior raiz da equação.
Sendo as raízes 13>12>5, a maior raiz é:
a=13

Conferindo:

a+b+c = 30 = 13+12+5 (Confere!)
ab+ac+bc = 281 = 13*12 + 13*5 + 12*5 = 156 + 65 + 60 = 281 (Confere!)
abc = 270 = 13*12*5 = 780 (Não confere!)

Creio que houve algum engano na digitação da equação de 3° grau, quanto ao termo independente, visto que:
abc = 13*12*5 = 780 e não 270!

Concordam?

Um abraço.