Equação e Raiz

Dada a equação ax^(4) + 7x³ + 5x² + bx + 9 = 0, determine a e b de modo que, se um número y é raiz da equação, o número (-1/y) também seja raiz da equação, com a mesma multiplicidade.

Gabarito::

Olá.

Sejam a raiz s, de multiplicidade 2. Do enunciado, as outras duas raízes serão -1/s. Das relações de Girard: 

s*s*(-1/s)*(-1/s) = 9/a .:. a = 9

s + s + (-1/s) + (-1/s) = -7/9 .:. 2s - 2/s = -7/9 .:. 2*(s - 1/s) = -7/9 .:. s - 1/s = -7/18

(s*s*(-1/s)) + (s*s*(-1/s)) + (s*(-1/s)*(-1/s)) + (s*(-1/s)*(-1/s)) = -b/9 .:.
-2s + 2/s = -b/9 .:. -2*(s  - 1/s) = -b/9 .:. s - 1/s = b/18 .:. -7/18 = b/18 .:. b = -7

Creio que não pode ser o contrário por causa da posição dos coeficientes.

Abraços,
Pedro

"Creio que não pode ser o contrário por causa da posição dos coeficientes."


Pedro, desculpe-me mas não ficou claro, poderia me explicar melhor??


abraços

É o seguinte:

o valor de cada uma das incógnitas é determinado pelo grau do termo que ela acompanha. Isso vem do fato de cada uma das 'mini-relações' de Girard utilizar um dos termos da equação. 

Por exemplo: a soma das raízes de uma equação de grau n, depende dos coeficientes dos termos de grau n-1 e grau n. A soma do produto das raízes duas a duas de uma equação de grau n, depende dos coeficientes de grau n-2 e grau n. Entende?

Por isso que eu disse: "[...] por causa da posição dos coeficientes [...]". Na verdade, ficaria melhor dito da seguinte maneira: "Não pode ser devido ao grau do termo que as incógnitas acompanham". Espero ter sido mais claro agora. Se não, me avise.

Abraços,
Pedro

Valeu Pedro, agora ficou claro!