UEPG

Considerando os números A = (2)^5.(3)^4.(5)² e B = (2)³.(5)^4.(7)^5, assinale o que for correto.

01) O número de divisores naturais de A é 90.
02) O número de divisores naturais de B é 120.
04) O número de divisores naturais pares de A é 75.
08) O número de divisores naturais ímpares de B é 30.
16) O maior divisor comum entre A e B é 200.

Gabarito: 01, 02, 04, 08 e 16.

Essa questão é de análise combinatória.

1. número de divisores de A: (5+1)(4+1)(2+1) = 90
2. número de divisores de B: (3+1)(4+1)(5+1) = 120

4. os divisores pares de A são da forma: 2^a * 3^b * 5^c onde:
a = {1, 2, 3, 4, 5}, b = {0, 1, 2, 3, 4} e c = {0, 1, 2}
a pode ser escolhido de 5 modos, b de 5 modos e c de 3 modos: 5*5*3 = 75.

8. os divisores ímpares de B são da forma: 2^a * 5^b * 7^c onde:
a = {0} (necessariamente, pois se houvesse algum 2, o número seria par), b = {0, 1, 2, 3, 4} e c = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
a pode ser escolhido de 1 modo, b de 5 modos e c de 6 modos: 1*5*6 = 30.

16. o mdc entre A e B é o maior número que divide os dois ao mesmo tempo, ou seja, devemos pegar os maiores elementos comuns de A e B: 2³*5² = 200.