Colegio Naval

por Hoshyminiag Ter 02 Set 2014, 00:33

A que distância do vértice de um triângulo equilátero de lado igual a 6 cm deve-se traçar uma reta paralela à base, de forma que o quadrilátero assim obtido seja circunscritível?

a) V3
b) 2V3
c) 3V3
d) 4V3
e) 5V3

por **Medeiros** Ter 02 Set 2014, 12:41

Considere que já há uma circunferência inscrita no triângulo equilátero. Quando traçarmos aquela paralela, iremos construir um trapézio isósceles porém a circunf. inscrita será a mesma — caso contrário, ela não tangenciaria os lados inclinados. Portanto, a paralela deve ficar afastada da base na altura de 2R.

Altura do triâng. equil. de lado L: h = L*sqrt(3)/2
R vale 1/3 da altura ----> R = L*sqrt(3)/6
.:. 2R = L*sqrt(3)/3

Quer-se a distância a partir do vértice, então
d = h - 2R = L*sqrt(3)*[1/2 - 1/3] = 6*sqrt(3)*1/6 ----> d = sqrt(3) ........ alt.(a)

por **Euclides** Ter 02 Set 2014, 13:24

Olá Medeiros,

todos os quadriláteros obtidos pela intersecção de retas paralelas à base serão circunscritíveis, desde que a reta seccione o triângulo.

Obviamente as alternativas c), d), e) estão a priori descartadas, pois essas distâncias são maiores ou iguais a altura do triângulo e não há quadrilátero formado.

As alternativas a) e b), ambas satisfazem a condição de formarem quadriláteros circunscritíveis.

Colegio Naval Burn

enganei-me?

por **Medeiros** Ter 02 Set 2014, 15:07

Olá Euclides. Grato pela atenção à minha resolução.
Acho que você enganou-se, sim. Inicialmente pensei como você mas, lendo atentamente o enunciado — "de forma que o quadrilátero assim obtido seja circunscritível? — percebi que o que se pede é a circunferência inscrita no quadrilátero. Você fez o quadrilátero inscrito.

Para inscreverinscrever este quadrilátero, um trapézio isósceles, qualquer comprimento da altura serve!