Sistemas de Equações

Considere o seguinte problema:
"Vito ganhou R$3,20 de seu pai em moedas de 5, 10 e 25 centavos. Se ele recebeu um total de 50 moedas, quantas moedas de 25 centavos ele recebeu?"

O problema proposto:

a)não admite solução
b)admite apenas uma única solução
c)admite apenas duas soluções
d)admite apenas três soluções
e)admite mais do que três soluções

Sejam x, y e z números pertencentes aos naturais.

DADOS
x + y + z = 50 --> x = 50 - y - z (I)
0,05x + 0,1y + 0,25z = 3,20 (II)

SOLUÇÃO
Substituindo (I) em (II):
0,05(50 - y - z) + 0,1y + 0,25z = 3,2
2,5 - 0,05y - 0,05z + 0,1y + 0,25z = 3,2
0,05y + 0,2z = 0,7 (III)

Por tentativa em (III) temos:
Para y = 0 não dá!
Para y = 1 não dá!
Para y = 2, z = 3 pode ser!
Para y = 3 não dá!
Para y = 4 não dá!
Para y = 5 não dá!
Para y = 6, z = 2 pode ser!
Para y = 7 não dá!
Para y = 8 não dá!
Para y = 9 não dá!
Para y = 10, z = 1 pode ser!
Para y de 11 a 13 não dá!
Para y = 14, z = 0 pode ser!

Substituindo os valores possíveis em (I):
x = 50 - 2 - 3 --> x = 45
0,05.45 + 0,1.2 + 0,25.3 = 2,35 + 0,2 + 0,75 = 3,2 Ok!

x = 50 - 6 -2 --> x = 42
0,05.42 + 0,1.6 + 0,25.2 = 2,1 + 0,6 + 0,5 = 3,2 Ok!

x = 50 - 10 - 1 --> x = 39
0,05.39 + 0,1.10 + 0,25.1 = 1,95 + 1 + 0,25 = 3,2 Ok!

x = 50 - 14 - 0 --> x = 36
0,05.36 + 0,1.14 + 0,25.0 = 1,8 + 1,4 + 0 = 3,2 Ok!

Portanto, ITEM E.

Caro Ivomilton

Vamos "apelar" para Diofanto

Sejam C, D, V as quantidades de moedas de 5, 10 e 25 centavos
Devemos expressar o total em centavos ----> R$3,20 = 320 centavos

C + D + V = 50 ----> Multiplicando por 25 ----> 25C + 25D + 25V = 1250 ----> I

5C + 10D + 25V = 320 ----> II

I - II ----> 20C + 15D = 930 ----> Dividindo por 5 ----> 4C + 3D = 186

Temos uma típica Equação Diofantina ---> variáveis INTEIRAS

3D = 186 - 4C ----> D = (186 - 4C)/3 ----> D = 62 - C - C/3

Fazendo x = C/3 ----> C = 3x ----> x deve ser inteiro

Substituindo -----> D = 62 - 3x - x ----> D = 62 - 4x

C + D + V = 50 ----> 3x + (62 - 4x) + V = 50 ----> V = x - 12

Condições de existência:

a) x - 12 >= 0 ----> x >= 12

b) 62 - 4x >= 0 ----> x =< 15

Solução ----> 12 =< x =< 15 ----> Temos 4 valores inteiros para x ---> 12, 13, 14, 15

Alternativa E

Mestre Elcio, achei muito interessante o método que o Sr. utilizou para resolver o problema proposto pelo Sr. Ivomilton.
Se possível, metre Elcio, poderia indicar alguma fonte de pesquisa para que possa me aprofundar no assunto?

Cordialmente,

Aryleudo (Ary).

Bom dia, amigos Ary e Elcio!

Embora eu saiba que matematicamente ambas as soluções apresentadas estão corretas, creio que a solução 0 (zero) seja um tanto estranha diante do texto que diz: "Vito ganhou de seu pai R$ 3,20 em moedas de 5, 10 e 25 centavos." Assim, creio que Vito deve ter recebido pelo menos 1 moeda para que haja coerência em relação ao que consta do texto da questão.

A minha resolução a esse problema foi esta:

x = quant. moedas de 5 centavos
y = quant. moedas de 10 centavos
z = quant. moedas de 25 centavos

5x + 10y + 25z = 320
x + y + z = 50

------------------------------------------------------------------

Simplificando a primeira por 5, fica:
x + 2y + 5z = 64

E formando sistema entre a segunda e esta última, vem:
x + y + z = 50 .......... [1]
x + 2y + 5z = 64 ....... [2]

Linha1.(-1) + Linha2 :
– x – y – z = – 50
x + 2y + 5z = 64
-----------------------
...... y + 4z = 14 ...... [3]


x + y + z = 50 ......... [1]
x + 2y + 5z = 64 ...... [2]

Linha1.(2) + Linha2.(-1) :
2x + 2y + 2z = 100
–x – 2y – 5z = –64
-------------------------
x - 3z = 36 ............. [4]

Reunindo as equações [3] e [4] , temos:
y + 4z = 14 ........... [3]
x - 3z = 36 ............ [4]

Da [3], tiramos:
y + 4z = 14
y = 14 – 4z

E de [4], vem:
x = 36 + 3z

Temos formado, então, as seguintes relações:
x = 36 + 3z
y = 14 – 4z
z = z

Como x, y, z devem ser positivos, fica:
36 + 3z > 0
3z > -36
z > -36/12
z > -12
z => -11 .......... [5]

14 – 4z > 0
14 > 4z
4z < 14
z < 3,5
z =< 3 ............ [6]

z > 0
z => 1 ............ [7]

Determinando a intersecção entre [5], [6] e [7], chega-se a:
1 =< z =< 3

Portanto, o valor de “z” poderá ser igual a 1, 2 ou 3.

Portanto, Vito poderá ter recebido: 1, 2 ou 3 moedas de 25 centavos.

-------------------------------------------------------------------

Conferindo:
Substituindo, nas equações abaixo, “z” por cada um desses três valores, teremos:

x = 36 + 3z
y = 14 – 4z
z = z

Para z=1:

x = 36+ 3z → x = 36 + 3.1 = 36 + 3 = 39
y = 14 - 4z → y = 14 – 4.1 = 14 – 4 = 10
z = z ........ → z .......................... = 1

39*0,05 + 10*0,10 + 1*0,25 = 1,95 + 1,00 + 0,25 = 3,20

Para z=2

x = 36 + 3z → x = 36 + 3.2 = 36 + 6 = 42
y = 14 – 4z → y = 14 – 4.2 = 14 – 8 = 6
z = z ........... → z ...................,,,, = 2

42*0,05 + 6*0,10 + 2*0,25 = 2,10 + 0,60 + 0,50 = 3,20

Para z=3

x = 36 + 3z → x = 36 + 3.3 = 36 + 9 = 45
y = 14 - 4z → y = 14 – 4.3 = 14 – 12 = 2
z = z.......... → z .......................... = 3

45*0,05 + 2*0,10 + 3*0,25 = 2,25 + 0,20 + 0,75 = 3,20




Muito obrigado pelas soluções, e uma excelente semana para ambos!

Ivo

Concordo contigo. Eu me preocupei apenas na solução matemática: Note que eu nem calculei os valores de C. D, V (achei apena os 4 valores possíveis de x e parei aí).
Se eu tivesse feito isto eu chegaria a:

.x ...... C ..... D ..... V
12 ..... 36 ... 14 .... 0
13 ..... 39 ... 10 .... 1
14 ..... 42 .... 6 ..... 2
15 ..... 45 .... 2 ..... 3

Neste ponto eu veria que uma das soluções era V = 0 e, se consultasse o enunciado, poderia entender que era necessário ter PELO MENOS uma moeda de cada tipo.

Ary

Posso indicar uma fonte de consulta sim: Elcio.
Equações Diofantinas é o meu assunto preferido na matemática. Já estudei o asssunto há vários anos e escreví um artigo a respeito (sem publicação).
Neste artigo eu explico o assunto, mostro inúmeros problemas a respeito e mostro também um fluxograma a partir do quel poderia ser desenvolvido um software para resolver alguns problemas.
Se você quiser posso te enviar o trabalho. Como é um pouco extenso posso te enviar por e-mail. Basta você me informar seu e-mail.

Elcio

Olá, prezado amigo Elcio.

Muito obrigado pelo retorno e as explicações. Valeu!
Essa questão eu peguei do Yahoo!Respostas, onde eu não poderia usar as diofantinas, pois sairia fora do alcance de entendimento e de estudo de quem a postou.






Um grande abraço e uma abençaoda semana!

Ivo

Como você pode ver, a solução diofantina envolve apenas conhecimentos do Ensino Médio (Equações simples + inequações)

Elcioschin escreveu:Ivo

Como você pode ver, a solução diofantina envolve apenas conhecimentos do Ensino Médio (Equações simples + inequações)

Bom dia, amigo Elcio

Obrigado por essa informação. É que tenho considerado serem as diofantinas um tipo de equação não ensinadas no currículo escolar normal. Como se fossem equações especiais




Um abração!

Você tem toda a razão: a matéria não faz parte do currículo escolar do Ensino Médio, mesmo envolvendo conhecimentos simples.

Um abraço

Elcio