Área de triângulo

Dado o triângulo MNP, calcule a área do triângulo NQR.

Seja H a projeção de Q sobre o lado RP.

A ideia é a seguinte: Podemos calcular QH, RH e PH usando relações métricas no triangulo retangulo PQR. Isso implica que as áreas de RHQ e PHQ são conhecidas. A área de PQM é igual a PM.PH/2, então também pode ser calculada.

Por fim, sendo A a área procurada, reparamos que os triangulos QHN e MPN são semelhantes e a razão de semelhança ao quadrado é a razão entre as suas áreas. Com esse fato podemos determinar A.

Bom, a ideia é simples, mas as contas ficaram bem feias. Pra simplificar, vamos denotar por \(t\) a expressão \( \sqrt{x^2 - 1}\). Então temos:

\( RH\cdot PR = QR^2 \implies RH\cdot 2x = 2^2 \implies RH = \dfrac 2x\)

\(PH = PR - RH = 2x - \dfrac 2x  = 2\dfrac{x^2-1}{x} = \dfrac{2t^2}x\)

\(QH^2 = RH \cdot PH  \implies QH = \dfrac {2t}x\)

Denotando por [X] a área do poligono X temos:

\( [QHR]= \dfrac{QH \cdot RH}2 = \dfrac{2t}{x^2}\)

\([QPR] = \dfrac{QH \cdot PR}2 = 2t \)

\([PMQ] = \dfrac{PM \cdot PH}2 = t^2 \)

Logo, sendo A = [NQR] temos:

\( \dfrac{A+[QHR]}{A + [QPR]+[PMQ]} = \dfrac{QH^2}{PM^2} \implies \)

\( \dfrac{A + \frac{2t}{x^2}}{A + 2t + t^2} = \dfrac{ \frac{4t^2}{x^2}}{x^2} \implies  Ax^4 + 2tx^2 = 4t^2A + 8t^3 + 4t^4 \implies \)

\( A (x^4 - 4t^2) = -2tx^2 + 8t^3 + 4t^4 \implies A = \dfrac{-2tx^2 + 8t^3 + 4t^4}{x^4 - 4t^2} \)

Substituindo \(t = \sqrt{x^2 - 1}\) e simplificando obtemos (se não errei conta) o seguinte:

\(A = \dfrac{(6x^2 - \sqrt{x^2-1} + 4(x^2-1)^2}{x^4 - 4x^2 + 4}\)