ITA 2023

Considere a função real
f(x) = cosx.[cos(x/3) +2senx] - senx.sen(x/2) - 2 definida no intervalo I = ]-4π,4π[.
Sobre a equação f(x) =0, podemos afirmar que:
A) não admite soluções em I
B) admite uma única solução em I
C) admite exatamente duas soluções em I
D) admite exatamente três soluções em I
E) admite exatamente quatro soluções em I

Eu pensei em fazer por Bolzano e achei que o produto f(-4π).f(4π) > 0, portanto ela não "fura" o eixo x. Sendo assim, pensei em duas situações: ou ela só tem uma raíz ou ela não tem nenhuma raíz, então fiquei entre a A) e a B). Queria saber o que elimina a opção B) como alternativa e faz o gabarito ser a A).

Ola,

O teorema do valor intermediário não te garante nada nessa situação. Basicamente vc pode ter quantas raízes quiser no intervalo. Na verdade, essa função que você escreveu tem duas raízes no intervalo dado. De uma olhada no gráfico depois.

Eu conferi no site do ita, e o enunciado correto é com x/3 onde está x/2, ou seja,

\( \displaystyle f(x) = \cos x  \cdot \left[ \cos \left(\frac x3\right) +2 \sin x\right ] - \sin x \cdot \sin \left( \frac x3 \right) - 2\)

Daí basta usar que \( \sin (2x) = 2 \sin x \cos x\) e que \( \cos \left(x + \frac x3 \right) = \cos x \cos \frac x3 - \sin x \sin \frac x3\) para concluir que

\( \displaystyle f(x) = \cos \left( \frac {4x}3\right) + \sin(2x)  -2\)

Mas tanto seno quanto cosseno são menores ou iguais a 1, e não é possível ter ambos na expressão acima simultaneamente iguais a 1. Disso segue que \(f(x) < 0\).