Afa 2023 - Trigonometria
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Afa 2023 - Trigonometria
por vinimasa72 Qua 07 Jun 2023, 19:16
59 - Os ângulos α e β satisfazem a equação (cos α − cosβ)2 + (sen α + sen β)2 = 2 , com α, β e (α + β) ∈ [0 , 2π]
Analise e classifique corretamente cada uma das proposições abaixo quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.
( ) α = β = 3π/4 satisfazem a equação.
( ) A igualdade é verdadeira se sen (α+β) = 1
( ) A igualdade é verdadeira somente se α = π/3 e β = π/6
Sobre as proposições, tem-se que
a) todas são falsas.
b) todas são verdadeiras.
c) apenas uma é verdadeira.
d) apenas duas são verdadeiras.
Gabarito D
Minha resolução
(cos α − cosβ)2 + (sen α + sen β)2 = 2
[-2*sen (α+β)/2 *sen (α-β)/2]2 + [2*sen (α+β)/2 * cos (α-β)/2]2 = 2
4sen2(α+β)/2 * sen2 (α-β)/2 + 4sen2(α+β)/2 * cos2 (α-β)/2 = 2
4sen2(α+β)/2 * [sen2 (α-β)/2 + cos2 (α-β)/2] = 2
4sen2(α+β)/2 * 1 = 2
sen2(α+β)/2 = 1/2
sen(α+β)/2 = sen π/4 ou sen(α-β)/2= sen 3π/4
(α+β)/2 = π/4
α+β = π/2
ou
(α+β)/2 = 3π/4
α+β = 3π/2
Analise e classifique corretamente cada uma das proposições abaixo quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.
( ) α = β = 3π/4 satisfazem a equação.
( ) A igualdade é verdadeira se sen (α+β) = 1
( ) A igualdade é verdadeira somente se α = π/3 e β = π/6
Sobre as proposições, tem-se que
a) todas são falsas.
b) todas são verdadeiras.
c) apenas uma é verdadeira.
d) apenas duas são verdadeiras.
Gabarito D
Minha resolução
(cos α − cosβ)2 + (sen α + sen β)2 = 2
[-2*sen (α+β)/2 *sen (α-β)/2]2 + [2*sen (α+β)/2 * cos (α-β)/2]2 = 2
4sen2(α+β)/2 * sen2 (α-β)/2 + 4sen2(α+β)/2 * cos2 (α-β)/2 = 2
4sen2(α+β)/2 * [sen2 (α-β)/2 + cos2 (α-β)/2] = 2
4sen2(α+β)/2 * 1 = 2
sen2(α+β)/2 = 1/2
sen(α+β)/2 = sen π/4 ou sen(α-β)/2= sen 3π/4
(α+β)/2 = π/4
α+β = π/2
ou
(α+β)/2 = 3π/4
α+β = 3π/2
Última edição por vinimasa72 em Seg 12 Jun 2023, 18:03, editado 1 vez(es)
vinimasa72- Padawan
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Re: Afa 2023 - Trigonometria
por Elcioschin Qua 07 Jun 2023, 19:32
Outro caminho mais simples:
(cosa - cosb)² + (sena + senb)² = 2
cos²a - 2.cosa.cosb + cos²b + sen²a + 2.sena.senb + sen²b = 2
verde = 1 ---> azul = 1
- 2.cosa.cosb + 2.sena.senb = 0 ---> sena.senb = cosa.cosb ---> tga.tgb = 1
tg(a + b) = (tga + tgb)/(1 - tga.tgb) ---> a + b = 90º
Complete
(cosa - cosb)² + (sena + senb)² = 2
cos²a - 2.cosa.cosb + cos²b + sen²a + 2.sena.senb + sen²b = 2
verde = 1 ---> azul = 1
- 2.cosa.cosb + 2.sena.senb = 0 ---> sena.senb = cosa.cosb ---> tga.tgb = 1
tg(a + b) = (tga + tgb)/(1 - tga.tgb) ---> a + b = 90º
Complete
Elcioschin- Grande Mestre
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