Afa 2023 - Trigonometria

por vinimasa72 Qua 07 Jun 2023, 19:16

59 - Os ângulos α e β satisfazem a equação (cos α − cosβ)² + (sen α + sen β)² = 2 , com α, β e (α + β) ∈ [0 , 2π]
Analise e classifique corretamente cada uma das proposições abaixo quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.
( ) α = β = 3π/4 satisfazem a equação.
( ) A igualdade é verdadeira se sen (α+β) = 1
( ) A igualdade é verdadeira somente se α = π/3 e β = π/6
Sobre as proposições, tem-se que
a) todas são falsas.
b) todas são verdadeiras.
c) apenas uma é verdadeira.
d) apenas duas são verdadeiras.
Gabarito D

Minha resolução
(cos α − cosβ)² + (sen α + sen β)² = 2
[-2*sen (α+β)/2 *sen (α-β)/2]² + [2*sen (α+β)/2 * cos (α-β)/2]² = 2
4sen²(α+β)/2 * sen² (α-β)/2 + 4sen²(α+β)/2 * cos² (α-β)/2 = 2
4sen²(α+β)/2 * [sen² (α-β)/2 + cos² (α-β)/2] = 2
4sen²(α+β)/2 * 1 = 2
sen²(α+β)/2 = 1/2
sen(α+β)/2 = sen π/4 ou sen(α-β)/2= sen 3π/4
(α+β)/2 = π/4

α+β = π/2
ou
(α+β)/2 = 3π/4
α+β = 3π/2

por **Elcioschin** Qua 07 Jun 2023, 19:32

Outro caminho mais simples:

(cosa - cosb)² + (sena + senb)² = 2

cos²a - 2.cosa.cosb + cos²b + sen²a + 2.sena.senb + sen²b = 2

verde = 1 ---> azul = 1

- 2.cosa.cosb + 2.sena.senb = 0 ---> sena.senb = cosa.cosb ---> tga.tgb = 1

tg(a + b) = (tga + tgb)/(1 - tga.tgb) ---> a + b = 90º

Complete

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