Condição para que complexo seja real

por Gustavo Freitas Coelho Seg 17 Jun 2024, 21:11

Estou iniciando meus estudos de complexos, me deparei com essa questão na apostila do Iezzi.
Seja z= x +iy, x²+y² ≠ 0 (i²= -1, x e y reais).

Qual é a condição para que z + [latex]\frac{1}{Z}[/latex] seja real?

Eu sei que para eles se tornarem reais a parte imaginária deve se igualar a zero, ou seja yi = 0, certo?
Como eu posso progredir?

por **Elcioschin** Seg 17 Jun 2024, 22:14

z + 1/z = (x + i.y) + 1/(x + i.y) --->

z + 1/z = (x + i.y) + 1.(x - i.y)/(x + i.y).(x - i.y)

z + 1/z = (x + i.y) + (x - i.y)/(x² + y²)

z + 1/z = (x + i.y) + x/(x² + y²) - i.y/(x² + y²)

z + 1/z = x + x/(x² + y²) + i.y.[1 - 1/(x² + y²)]

Devemos ter 1 - 1/(x² + y²) = 0 --> Complete

por Gustavo Freitas Coelho Qua 19 Jun 2024, 17:20

z + 1/z = x + x/(x² + y²) + i.y.]1 - 1/(x² + y²)]

Okay, você separou a parte real da parte imaginária, até aí eu entendi, mas de onde surgiu esse 1-1?

por **Elcioschin** Qua 19 Jun 2024, 17:30

Eis a penúltima linha:

z + 1/z = (x + i.y) + x/(x² + y²) - i.y/(x² + y²)

Note que a parte real é R = x + x/(x² + y²)

E a parte imaginária é I = i.y - i.y/(x² + y²)

Podemos escrever assim: I = (i.y).1 - (i.y).[1/(x² + y²)

Colocando (i.y) em evidência ---> I = (i.y).[1 - 1/(x² + y²)]

Assim, não existe 1 - 1 como vc escreveu: existe 1 - 1/(x² + y²)

por Gustavo Freitas Coelho Seg 24 Jun 2024, 15:41

Entendi o que você fez, obrigado pela explicação! Portanto olhando para parte imaginária, nós temos:

yi.( 1- [latex]\frac{1}{x^2+y^2}[/latex] )

Para que z+[latex]\frac{1}{z}[/latex] seja real, ou y=0 ou x²+y²=1

por **Elcioschin** Seg 24 Jun 2024, 17:01

Sim.

y = 0 corresponde a z real: z = x
E note que x² + y² = 1 é uma circunferência com centro na origem e raio igual r = 1
Assim todo ponto desta circunferência corresponde ao complexo z = x + y.i que atende ao solicitado.