[Produtos Notáveis] 1+2(1+2(1+2...

O valor de  1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2))...))

a)2^10 - 1
b)2^11- 1
c)2^11 +1
d)2^12 - 1
e)2^12 + 1

gab: D

O enunciado que você postou parece incompleto. Pode editar o post principal adicionando uma foto, talvez, do que tá escrito?

Defina \(x_1 = 1\) e \(x_{n+1} = 1+2x_n\). Queremos calcular \(x_{12}\)

\( \displaystyle 1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2( \underbrace{1+2\underbrace{(1+2\cdot \underbrace{1}_{x_1})}_{x_2}}_{x_3}))))))))) \)

Temos
\(x_1 = 1\)
\(x_2 = 3\)
\(x_3 = 7\)
\(x_4 = 15\)
\(x_5 = 31\)

Não é difícil de conjecturar que \(x_n = 2^{n} -1\), que de fato é verdade e pode ser verificado por indução. Se você já estudou recorrencias, pode achar a formula geral transformando ela na homogenea :\( x_{n+2} - 2x_{n+1} = 1 = x_{n+1} - 2x_n \implies x_{n+2} - 3x_{n+1} + 2x_n = 0\). Se não viu nada disso, pode calcular explicitamente e chegar em \(x_{12} = 4095\). Ou então pode pensar assim:

\( \displaystyle \begin{array}{rcl}
x_{12} &=& 2x_{11} + 1 \\
2x_{11} &=& 4x_{10} + 2 \\
4x_{10} &=& 8x_{9} + 4 \\
&\vdots & \\
2^{10}x_2 &=& 2^{11} x_1 + 2^{10}
\end{array}\)

Somando tudo e simplificando ficaremos com:

\(\displaystyle x_{12} = 2^{11} x_1+ (1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10}) = 2^{11} + (2^{11} - 1) = 2^{12}-1\)