calcule o limite

por **aryleudo** Dom 04 Jul 2010, 19:12

Considere:
x^1/6 = u

Assim:
(x^1/6)² = u² --> x^1/3 = u²

(x^1/6)³ = u³ --> x^1/2 = u³

(x^1/6)¹² = u¹² --> x² = u¹²

Substuindo:
$\\\lim_{u \rightarrow 1}\frac{u^{2} - u^{3}}{u^{12}-1}= \lim_{u \rightarrow 1}\frac{-u^{2}\times(u - 1 )}{(u^{6}+1)\times(u^{6}-1)} \\\lim_{u \rightarrow 1}\frac{u^{2} - u^{3}}{u^{12}-1}= \lim_{u \rightarrow 1}\frac{-u^{2}\times(u - 1 )}{(u^{6}+1)\times(u^{3}+1)\times(u^{3}-1)} \\\lim_{u \rightarrow 1}\frac{u^{2} - u^{3}}{u^{12}-1} = \lim_{u \rightarrow 1}\frac{-u^{2}\times(u - 1 )}{(u^{6}+1)\times(u^{3}+1)\times(u-1)\times(u^{2}+u+1)} = \lim_{u \rightarrow 1}\frac{-u^{2}}{(u^{6}+1)\times(u^{3}+1)\times(u^{2}+u+1)}$

Retornando a incógnita inicial:
$\\ \lim_{x \rightarrow 1}\frac{-\sqrt[3]{x}}{(x+1)\times(\sqrt{x}+1)\times(\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}+1)}= \frac{-\sqrt[3]{1}}{(1+1)\times(\sqrt{1}+1)\times(\sqrt[3]{1}+\sqrt[6]{1}+1)}\\ \lim_{x \rightarrow 1}\frac{-\sqrt[3]{x}}{(x+1)\times(\sqrt{x}+1)\times(\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}+1)}= \frac{-1}{2\times2\times3} = -\frac{1}{12}$

Lembre-se que:
$x^{1/2} = \sqrt{x}$

$x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$

$x^{1/6} = \sqrt[6]{x}$

OBS.: Contei com uma ajudinha da galerinha da comunidade do Orkut (Projeto IME/ITA/EN/AFA) no endereço: http://www.orkut.com.br/Main#CommMsgs?cmm=1299345&tid=5490034120687333051&start=1.

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