Geometria Fuvest

Olá!  alguém poderia me tirar essa dúvida: na correção da questão abaixo, desenha-se o triangulo externo ao quadrado. alguem conseguiu fazer desenhando esse triangulo dentro?
desde já obrigado =))

O triangulo AOB é isósceles, com OA= OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do angulo AÔB, pode-se garantir qye a área do quadrado é maior do que a área do triangulo se:

a) 14° < θ < 28°
b) 15° < θ < 60°
c) 20°< θ < 90°
d) 28°< θ < 120°
e) 30° < θ < 150°
Dados os valores aproximados:
tg 14 ≅ 0,2493
tg 15 = 0,2679
tg 20 = 0,3640
tg 28 = 0,5317

 :suspect:  :suspect:  :suspect:  :suspect:  :suspect:  :suspect:

Nem o quadrado está dentro do triângulo, nem o contrário

Desenhe um quadrado ABCD com AB e cima e CD em baixo.

O triângulo AOB está acima do quadrado (tem em comum o lado AB) e o ponto O está no alto

Seja OA = OB = L e seja AB = a

AÔB = θ ----> OÂB = O^BA = 90º - θ/2

L.cosOÂB = a/2 ---> L.cos(90º - θ/2) = a/2 ---> L.sen(θ/2) = a/2 --->

a = 2.L.sen(θ/2) ----> a² = 4.L².sen²(θ/2)

Área de AÔB ----> St = L².senθ/2 ----> I

Área de ABCD ---> Sq = a² ----> Sq = 4.L².sen²(θ/2)

Sq > St ---> 4.L².sen²(θ/2) > L².senθ/2 ---> 4.sen²(θ/2) > 2.sen(θ/2).cos(θ/2)/2

4.sen(θ/2) > cos(θ/2) ----> sen(θ/2)/cos(θ/2) > 1/4 ----> tg(θ/2) > 1/4

tgθ = 2.tg(θ/2)/[1 - tg²(θ/2)]  ---> tgθ = 2.(1/4)/[1 - (1/4)²] ---> tgθ = 8/15 --->

tgθ ~= 0,533 ----> Alternativa E

O gabarito é letra E e está correto, Élcio. Existe algum erro na sua resolução.

Pedro

Corrigi apenas a última linha (em vermelho)

Obrigado pela postagem do gabarito (que deveria ter sido postado pelo Clauditore, respeitando a Regra XI do fórum)

nas suas opções a FUVEST diz:

FUVEST escreveu:e) 30° < θ < 150°

alguém poderia me dizer por que θ deve ser menor do que 150º ?

Up!

Depois de 7 anos, acho que posso te responder, Medeiros.

Acontece que o ângulo θ, como pertence a um triângulo, precisa ser somente menor de 180. Além disso, qualquer ângulo maior que 30 graus e menor que 180 satisfará a condição tg (θ/2) > 1/4.

Como a questão não colocou o intervalo de 30<θ< 180, podemos assinalar o intervalo de 30<θ< 150 que está incluído naquele. 

Bom, talvez você já saiba isso depois de tanto tempo, mas eu não perderia a oportunidade hahahha

Depois de tantos anos, outra solução:

Seja M o ponto médio de AB ---> OM = h ---> altura relativa a AB

AÔB = θ  ---> AÔM = BÔM = θ/2

tgAÔM = AM/OM ---> tg(θ/2) = (a/2)/h ---> h = a/2.tg(θ/2)

St = a.h/2 ---> St = a.[a/2.tg(θ/2)]/2 ---> St = a²/4.tg(θ/2)

Sq = St ---> a² = a²/4.tg(θ/2) ---> tg(θ/2) = 1/4

tg(θ) = 2.tg(θ/2)/[1 - tg²(θ/2)] ---> tg(θ) = 2.(1/4)/[1 - (1/4)²] --->

tgθ = 8/15 ~= 0,533

Elcio, tentei fazer a questão utilizando senθ para área do triângulo e fiz uma relação entre as áreas do triângulo e do quadrado utilizando a Lei dos Cossenos.

Mas não sei como prosseguir:  https://prnt.sc/1asybib

Com os dados do enunciado, há solução a partir de minha resolução?

obrigado pelo apoio, Ceruko, mas hoje já estou menos bobinho do que a 7 anos atrás (mérito deste fórum) e eu mesmo descobri o porquê. De passagem, acho que minha solução (bastante próxima da do Élcio) responde a sua dúvida.