Fuvest geometria plana

(Fuvest) Num triângulo ABC, sejam P e Q pontos sobre BA e BC, respectivamente, de modo que a reta PQ seja paralela à reta AC e a área do trapézio APQC seja o triplo da área do triângulo PQB.

a) Qual a razão entre as áreas dos triângulos ABC e PQB?

b) Determine a razão AB/PB



resposta : a) 4  b) 2

obs: a questão não possui figura
minha resolução ficou enorme, e eu encontrei 4/9, acho que o problema foi eu ter colocado 4 incógnitas. Como resolver?

Área de PQB = S
Área de APQC = 3.S

Área de ABC = 4S

a) Relação = 4

b) A relação entre os lados dos dois triângulo é a raiz quadrada  da relação entre áreas ou:

(AB/AP)² = 4 ----> AP/AB = 2

ThaisP escreveu:(Fuvest) Num triângulo ABC, sejam P e Q pontos sobre BA e BC, respectivamente, de modo que a reta PQ seja paralela à reta AC e a área do trapézio APQC seja o triplo da área do triângulo PQB.

a) Qual a razão entre as áreas dos triângulos ABC e PQB?

b) Determine a razão AB/PB



resposta : a) 4  b) 2

obs: a questão não possui figura
minha resolução ficou enorme, e eu encontrei 4/9, acho que o problema foi eu ter colocado 4 incógnitas. Como resolver?

Boa tarde, Thais.

Os triângulos PBQ e ABC sendo semelhantes, tanto seus lados como suas alturas são diretamente proporcionais.

Assim, temos:
AB/PB = AC/PQ

SAPQB = 3*SBPQ

SABC = SAPQB - 3*SBPQ = 4*SAPQB

SABC/SBQP = 4*S/S = 4 ← a)

=============================================================
H = altura do ∆ABC
h = altura do ∆BPQ

(AC*H)/2 = 4(PQ*h)/2

AC/PQ = 4h/H ..... (I)

Como foi dito, as alturas guardam a mesma proporcionalidade que entre os lados desses dois ∆s:

AC/PQ = H/h ....... (II)

Comparando (II) com (I), vem:
H/h = 4h/H
H*H = h*4h
H² = 4h²

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros da equação supra:
H = 2h
H/h = 2

Como a proporcionalidade entre os lados é a mesma que existe entre as alturas, podemos escrever:
AB/PB = AC/PQ =  BQ/BC = H/h

Donde podemos então deduzir:
AB/PB = H/h = 2 ←b)



Um abraço.

Muito obrigada a vocês! muito simples agora  = D

Elcioschin escreveu:Área de PQB = S
Área de APQC = 3.S

Área de ABC = 4S

a) Relação = 4

b) A relação entre os lados dos dois triângulo é a raiz quadrada  da relação entre áreas ou:

(AB/AP)² = 4 ----> AP/AB = 2

 A relação entre os lados dos dois triângulo é a raiz quadrada  da relação entre áreas  . Sempre acontece isso? Não há exceção?
Achei fascinante, nunca tinha ouvido falar nisso

ThaisP escreveu:

Elcioschin escreveu:Área de PQB = S
Área de APQC = 3.S

Área de ABC = 4S

a) Relação = 4

b) A relação entre os lados dos dois triângulo é a raiz quadrada  da relação entre áreas ou:

(AB/AP)² = 4 ----> AP/AB = 2

 A relação entre os lados dos dois triângulo é a raiz quadrada  da relação entre áreas  . Sempre acontece isso? Não há exceção?
Achei fascinante, nunca tinha ouvido falar nisso

Boa noite, Thaís.

Desde os dois triângulos sejam semelhantes, sim, não há exceção.



Um abraço.

E vamos além

A relação entre os volumes é igual ao cubo da relação entre arestas:

V1/V2 = (L1/L2)³

Ual, muito obrigada, vocês têm algum livro que traga tais assuntos para me indicar?

Qualquer bom livro de Geometria tem esta demonstração

ok!