Teoria dos Conjuntos

por Shikamaru Qui 10 Abr 2014, 09:26

Classificar em V ou F.

A∈ (AՈB)

Confirmem se fiz certo, por gentileza:

A∈ (AՈB)

AՈB={X| X ∈A e X∈B}
A∈(AՈB)⇒(A∈A e A∈B)

De outra forma:
A∈ (AՈB)=(A∈A)Ո(A∈B)=AՈB=A

Sendo uma implicação verdadeira.

por MatheusMagnvs Qui 10 Abr 2014, 20:24

Não entendo muito bem seu procedimento.

O enunciado pede para dizer se é verdade que A é elemento de AinterB (interseção).

Então o senhor conclui que A elemento de A (correto) e A elemento de B. Mas como você pode provar que A realmente é elemento de B? Afinal não temos certeza de que A está contido dentro de B. Caso esteja, realmente A elemento de A e A elemento de B, mas não entendo como o senhor concluiu isso.

Por exemplo, seja A = {2,3,4} e B = {4,5,6}

AinterB = {4}

A elemento de A, mas A não é elemento de B (apenas 4, que é elemento de A, também é elemento de B).

Não entendi sua demonstração nesse ponto.

por Shikamaru Sex 11 Abr 2014, 16:17

Bem, vejamos:
A∈ (A∩B)

(A∩B)={x |x ∈ A e x ∈ B}

x∈ A ⇒ x∈ A e x∈ B

Meu raciocínio foi esse

por exemplo, se tivéssemos A={1,2,3} e B={1,2}

A∩B={1,2}

x∈A=A∩B
x∈A={1,2}, então os possíveis elementos de x são 1 e 2.

Acho melhor esperarmos algum colega que tenha maior domínio sobre o assunto esclarecer a questão.

por MatheusMagnvs Sex 11 Abr 2014, 21:04

Se x é elemento de AinterB, é evidente que X é elemento de A e x é elemento de B.

Acontece que no seu primeiro post o sr. afirmou o seguinte:

"AՈB={X| X ∈A e X∈B}
A∈(AՈB)⇒(A∈A e A∈B)"

e acredito que essa generalização não possa ser feita (alguém corrija se eu estiver errado). Dependerá muito do conjunto.

Há exemplos em que A é elemento de AinterB (como no caso em que A é um subconjunto de B), mas há casos em que A não chega a ser, em sua totalidade, um elemento de B; então mesmo que x seja elemento de A e de B (x elemento de AinterB), ainda assim A não é, necessariamente, elemento de B; apenas a interseção de A é, também, elemento de B.

Seja A = {1,2,3} e B = {1,2}

AinterB = {x | x elemento de A e x elemento de B}

x = {1,2}, possíveis valores de x. Nesse caso, B está contido em A, então B elemento de AinterB, mas A não é elemento de B. Assim como podemos forjar um exemplo em que A seja elemento de B. Será que é possível generalizar um caso?

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