ITA - Teoria dos Conjuntos

Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que [latex]\left ( A - B \right ) \cup \left ( B - A \right ) = A[/latex]






Minha resolução foi a seguinte;

[latex]\left ( A - B \right ) \subset A[/latex]


[latex]\left ( B-A \right ) \subset A \Leftrightarrow B=\varnothing [/latex]

 
portanto, não existem conjuntos A e B não vazios que satisfazem a condição dada.

Essa resolução é válida??

Olá Valéria Oliveira;

A relação de bi-implicância que você propôs está incorreta, abaixo segue o máximo que você poderia escrever tendo como única setença de partida que [latex]\left ( B-A \right ) \subset A[/latex]:

[latex]\left ( B-A \right ) \subset A \Leftrightarrow \color{red}{(B - A)} =\varnothing [/latex]

Apenas considerando o fato [latex]\left ( B-A \right ) \subset A[/latex], observe que o conjunto [latex]B = A [/latex] satisfaz [latex](A-A) \subset A [/latex], então [latex]B[/latex] não é necessariamente vazio. Provar a relação de bi-implicância não é realmente necessário, só a relação de implicância já seria o suficiente para abordar a questão.

[latex]\left ( B-A \right ) \subset A \Rightarrow (B - A) =\varnothing [/latex]

Tenta refazer o pproblema. Deixo abaixo o resto da resolução.

Spoiler:

Bons estudos

Muitíssimo obrigada, João!!  

Bom dia colegas!
Perdão reviver o tópico, mas estou com dúvida no seguinte:

Poderíamos ter feito o caminho considerando:
  ?
E se fosse possível, haveria alteração em qual parte da conta?

Obrigado!

Olá Floral Fury;

Para quaisquer conjuntos A e B a expressão[latex]A-B \subset A[/latex] é sempre verdadeira, então você não consegue obter nenhuma informação útil dela.

Agora quanto a formulação da bi-implicância , existe imprecisão. Tome como exemplo os conjuntos A ={1} e B = {2}, por consequência A -B = {1}.

Note que [latex]\{1\} \subset \text \{1\}[/latex], mas que [latex]A-B \neq \varnothing[/latex]

A relação de implicância no sentido indireto da bi-implicância prosposta é verídica, mas ela não tem utilidade para discutir o problema:

[latex](A - B) = \varnothing \implies (A- B) \subset A[/latex]

Ahhh sim, entendi.
Obg pela ajuda colega João!

Boa noite e abraços!

Revivendo o tópico novamente, no livro 1 do Iezzi ele define (A - B) U (B - A) = A ∆ B. Eu cheguei à conclusão que (A -B) U (B - A) = (A U B) - (A Ո B). Queria saber se existe algum absurdo nisso que eu não tenha notado

Olá! Não existe nenhum absurdo na sua conclusão. No diagrama de Venn fica bem claro como ela é verdadeira.

Obrigado!