geometria plana

por paulo césar junior Seg 31 Mar 2014, 23:48

somente dois polígonos podem ter o seu menor ângulos interno medindo 120 e cada um dos outros com 5 a mais que o seu predecessor. um deles é o eneágono com ângulos que medem 120,125,130,135,140,145,150,155, e 160. O gênero do outro é igual a:
gabarito:16

por PedroCunha Ter 01 Abr 2014, 07:33

Olá.

Podemos fazer da seguinte maneira:

120° + 125° + 130° + ... + 120°+(5*[n-1]) = (n-2)*180°

Do lado esquerdo temos uma P.A. de a1 = 120°, r = 5, an = 120°+(5*[n-1]), n = n:

Sn = (a1 + an) * n/2 .:. Sn = (120° + 120°+5*(n-1)) * n/2 .:.
Sn = (235° + 5n) * n/2 .:. Sn = (235n + 5n²)/2

Do lado direito: (n-2)*180° = 180n - 360

Igualando:

(235n+5n²)/2 = 180n - 360 .:. 5*(47n+n²)/2 = 5*(36n - 72) .:.
47n + n² = 72n + 144 .:. n² - 25n + 144 = 0 .:. n = (25 +- 7)/2 --> n = 9 ou n = 16

Att.,
Pedro

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