Equações Literais - 1

por Giovane Ter 11 Mar 2014, 19:51

A equação [x-ab]/[a+b] + [x-ac]/[a+c] + [x-bc]/[b+c] = a+b+c possui solução única, podemos afirmar que x é igual a:

Gab: ab+ac+bc

por danjr5 Dom 06 Jul 2014, 15:21

Olá Giovane,
boa tarde!
Costumo dizer que questões assim são resolvidas com percepção, veja:

$\frac{x - ab}{a + b} + \frac{x - ac}{a + c} + \frac{x - bc}{b + c} = a + b + c$

- Como podemos notar, c não aparece no denominador do primeiro termo, então, vamos considerar o primeiro termo valendo c;

- Nota-se também que, b não figura no denominador do segundo termo, então, consideremos o segundo termo valendo b;

- a não figura no denominador do último termo, daí, terceiro termo valendo a.

Portanto, $c + b + a = a + b + c$

Uma vez que a igualdade continua a ser verdadeira, segue que:

$\begin{cases} \frac{x - ab}{a + b} = c \Rightarrow x - ab = ac + bc \Rightarrow x = ab + ac + bc \\\\ \frac{x - ac}{a + c} = b \Rightarrow x - ac = ab + bc \Rightarrow x = ac + ab + bc \\\\ \frac{x - bc}{b + c} = a \Rightarrow x - bc = ab + ac \Rightarrow x = bc + ab + ac \end{cases}$

Repare que os valores encontrados para x são iguais, logo $\boxed{x = ab + ac + bc}$ .

Espero ter ajudado!!