Valor da soma?

por luciano gomes da silva 4/3/2014, 11:26 am

Caro amigos, Forumeiros!

Gostaria que me ajudassem na seguinte questão...

O valor da soma 3/(1*2*3) + 5/(2*3*4) + 7/(3*4*5)+...

De acordo com o gabarito temos : 5/4

Encontrei a lei de formação sendo:

(2n+1)/[n(n+1)(n+2)] de n=1 ao + infinito.
ou seria esta lei de formação? (2n-1)/[n(n+1)(n+2)] numerador teremos n variando de 2 ao infinito e denominador qm que n varia de 1 ao +infinito.

sendo este ultimo teremos, 1+3+5+...+(2n-1)=n^2

Resp.: 5/4

por Matheus Fillipe 4/3/2014, 10:28 pm

A lei de formação é:

(2n+1)/n(n+1)(n+2) de n=1 até infinito.

Note que:

(2n+1)/n(n+1)(n+2)=1/2 (1/n) + 1/(n+1)-3/2 (1/(2+n))

Assim se estamos somando de n=1 a infinito:

S=1/2 (1+1/2+1/3....) + (1/2+1/3+1/4...) -3/2(1/3+1/4+1/5...)

=1/2 + 3/2(1/2+1/3+...)-3/2(1/3+1/4+1/5...)

=1/2+3/4+0=5/4

Gostei do exercício!

por Luck 7/3/2014, 11:47 am

Complementando.. como nem sempre é fácil decompor em frações no 'olhômetro', vc pode tb usar o método de frações parciais:

(2k+1)/k(k+1)(k+2) = A/k + B/(k+1) + C/(k+2)
(2k+1) = A(k+1)(k+2) + Bk(k+2) + Ck(k+1)
(2k+1) = A(k² +3k + 2) + B(k² + 2k) + C(k² +k)
(2k+1) = (A +B+C)k² + (3A+2B +C)k + 2A
2A = 1 ∴ A = 1/2
A + B + C = 0 ∴ B + C = -1/2
3A + 2B + C = 2 ∴ 2B + C = 1/2
B = 1 , C = -3/2

∑(2k+1)/k(k+1)(k+2) = ∑ [1/(2k) + 1/(k+1) - 3/(2(k+2)) ]