valor da soma

o valor da soma S=\frac{1}{6}+\frac{1}{2*3*4}+\frac{1}{3*4*5}+\frac{1}{4*5*6}+ ***+\frac{1}{(n+1)*(n+2)*(n+3)} é:
a)10
b)12
c)14
d)16
e)18

O fórum não está aceitando a imagem, então vai o link da resolução:

https://prnt.sc/r0viqb

Caso o link fique fora do ar, abaixo está em formato texto. Pode ser passado para o equation do Word, depois clica com o lado direito e coloca pra ver no formato professional (pra não ficar no linear).

1/((a-1)a(a+1)) ≡1/2 (1/(a+1)+1/(a-1))-1/a

a=2→1/2 (1/3+1)-1/2
a=3→1/2 (1/4+1/2)-1/3
a=4→1/2 (1/5+1/3)-1/4
a=5→1/2 (1/6+1/4)-1/5
…
a=n+1→1/2 (1/(n+2)+1/n)-1/(n+1)
a=n+2→1/2 (1/(n+3)+1/(n+1))-1/(n+2)

Somando tudo:

1/2 (2*(1/3+1/4+1/5+⋯+1/n+1/(n+1))+1+1/2+1/(n+2)+1/(n+3))-(1/2+1/3+1/4+⋯+1/(n+1)+1/(n+2))=
=1/2 (2*(1/2+1/3+1/4+1/5+⋯+1/n+1/(n+1))+1/2+1/(n+2)+1/(n+3))-(1/2+1/3+1/4+⋯+1/(n+1)+1/(n+2))=
=1/2 (1/2+1/(n+2)+1/(n+3))+(1/2+1/3+1/4+1/5+⋯+1/n+1/(n+1))-(1/2+1/3+1/4+⋯+1/(n+1)+1/(n+2))=
=1/2 (1/2+1/(n+2)+1/(n+3))-1/(n+2)=


=((n+1)(n+4))/(4(n+2)(n+3))

Ashitaka escreveu:O fórum não está aceitando a imagem, então vai o link da resolução:

https://prnt.sc/r0viqb

Caso o link fique fora do ar, abaixo está em formato texto. Pode ser passado para o equation do Word, depois clica com o lado direito e coloca pra ver no formato professional (pra não ficar no linear).

1/((a-1)a(a+1)) ≡1/2 (1/(a+1)+1/(a-1))-1/a

a=2→1/2 (1/3+1)-1/2
a=3→1/2 (1/4+1/2)-1/3
a=4→1/2 (1/5+1/3)-1/4
a=5→1/2 (1/6+1/4)-1/5
…
a=n+1→1/2 (1/(n+2)+1/n)-1/(n+1)
a=n+2→1/2 (1/(n+3)+1/(n+1))-1/(n+2)

Somando tudo:

1/2 (2*(1/3+1/4+1/5+⋯+1/n+1/(n+1))+1+1/2+1/(n+2)+1/(n+3))-(1/2+1/3+1/4+⋯+1/(n+1)+1/(n+2))=
=1/2 (2*(1/2+1/3+1/4+1/5+⋯+1/n+1/(n+1))+1/2+1/(n+2)+1/(n+3))-(1/2+1/3+1/4+⋯+1/(n+1)+1/(n+2))=
=1/2 (1/2+1/(n+2)+1/(n+3))+(1/2+1/3+1/4+1/5+⋯+1/n+1/(n+1))-(1/2+1/3+1/4+⋯+1/(n+1)+1/(n+2))=
=1/2 (1/2+1/(n+2)+1/(n+3))-1/(n+2)=


=((n+1)(n+4))/(4(n+2)(n+3))

Imagem do colega Ashitaka.