Valor da soma

por **Jose Carlos** Qui 19 Nov 2009, 18:36

Determine o valor da soma:

S = 1 + (3/4) + (7/16) + (15/64) + ...... + [(2^n) - 1 ]/[2^(2n-2) ]

R: 8/3

por **Adam Zunoeta** Ter 28 Set 2010, 04:31

Jose Carlos escreveu:Determine o valor da soma:

S = 1 + (3/4) + (7/16) + (15/64) + ...... + [(2^n) - 1 ]/[2^(2n-2) ]

R: 8/3

$S=\frac {2^1-1}{2^0}+\frac {2^2-1}{2^2}+\frac {2^3-1}{2^4}+\frac {2^4-1}{2^6}+...$

$S=\frac {2^1}{2^0}+\frac {2^2}{2^2}+\frac {2^3}{2^4}+\frac {2^4}{2^6}+...-\left( \frac {1}{4^0}+\right\frac {1}{4^1}+\frac {1}{4^2}+\frac {1}{4^3}+... \right)$

$S=\frac {2^{n+1}}{2^{2n}}-\frac {1}{4^n}$

$S=\frac {2.2^n}{2^{2n}}-\frac {1}{4^n}=\frac {2}{2^n}-\frac {1}{4^n}$

$S=2\sum_{0}^{\infty} \left( \frac {1}{2} \right)^n-\sum_{0}^{\infty} \left( \frac {1}{4} \right)^n$

Subtração de duas PG infinitas então:

$S=2.2-\frac {4}{3}=4-\frac {4}{3}=\frac {8}{3}$

Logo:
$S=\frac {8}{3}$

Qualquer dúvida na resolução tamo ai
Very Happy