Valor da soma?

por dani1801 Ter 05 Jul 2016, 13:14

Calcule o valor da soma a seguir:
2+22+222+...+222..22
''n algarismos''

Resp: 2(10 ^n+1 - 9n - 10)/81

por GFMCarvalho Ter 05 Jul 2016, 15:29

Boa tarde,

Observe que:

2=2\frac{10^1-1}{9}

22=2\frac{10^2-1}{9}

...
Se houver n algarismos:
222...22=2\frac{10^n-1}{9}

Agora realizamos a soma, já colocando o 2 em evidência e tudo sobre o denominador comum:

S=2\left(\frac{10-1+10^2-1+...+10^n-1}{9}\right)

S=2\left(\frac{10+10^2+...+10^n-n}{9}\right)

Notamos que a soma das potências é a soma de uma P.G. de primeiro termo 10 e razão 10. Vamos calcular essa soma de P.G.:

S_n=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}

S_n = \frac{10\cdot(10^n-1)}{9}

S_n=\frac{10^{n+1}-10}{9}

E substituímos na soma de cima:

S=2\left(\frac{\frac{10^{n+1}-10}{9}-n}{9}\right)

S=2\left(\frac{\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}}{9}\right)

\boxed{S=\frac{2(10^{n+1}-9n-10)}{81}}