Distribuição geométrica
2 participantes
Página 1 de 1
Distribuição geométrica
por Adam Zunoeta Ter 28 Jan 2014, 21:56
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com distribuição geométrica de parâmetro p. Determine:
a) a distribuição de min(X,Y)
b) P(min(X,Y) = X) = P(Y>X)
c) a distribuição de X+Y
d) P(Y= y | X+Y= z) para y=0,1,...,z.
Não tenho gabarito
a) a distribuição de min(X,Y)
b) P(min(X,Y) = X) = P(Y>X)
c) a distribuição de X+Y
d) P(Y= y | X+Y= z) para y=0,1,...,z.
Não tenho gabarito
Adam Zunoeta- Monitor
- Mensagens : 4223
Data de inscrição : 25/08/2010
Idade : 34
Localização : Cuiabá
Re: Distribuição geométrica
por fantecele Ter 24 Nov 2020, 21:12
a)
%5Cgeq&space;k)=P(X%5Cgeq&space;k,Y%5Cgeq&space;k)%5C%5CP(min(X,Y)%5Cgeq&space;k)=P(X%5Cgeq&space;k)P(Y%5Cgeq&space;k)%5C%5CP(min(X,Y)%5Cgeq&space;k)=(1-p)%5E%7Bk-1%7D(1-p)%5E%7Bk-1%7D%5C%5CP(min(X,Y)%5Cgeq&space;k)=(1-(2p-p%5E2))%5E%7Bk-1%7D "\\P(min(X,Y)\geq k)=P(X\geq k,Y\geq k)\\P(min(X,Y)\geq k)=P(X\geq k)P(Y\geq k)\\P(min(X,Y)\geq k)=(1-p)^{k-1}(1-p)^{k-1}\\P(min(X,Y)\geq k)=(1-(2p-p^2))^{k-1}")
Daqui tiramos que min(X, Y) ~ Geo(2p - p²).
b) Não sei porque, mas o LaTeX tá bugando quando eu coloco P(Y > X), então, ali em baixo, considere P(Y X) = P(Y > X).
Para P(Y > X) queremos somar sobre todos os pares (x, y) tais que y > x na f.m.p conjunta, então, desde que X e Y são independentes:
=%5Csum_%7Bx=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Csum_%7By=x+1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(1-p)%5E%7Bx-1%7Dp%5C,(1-p)%5E%7By-1%7Dp%5C%5C%5C%5CP(Y&space;X)=%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7B(1-p)%5E2%7D%5Csum_%7Bx=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(1-p)%5Ex%5Csum_%7By=x+1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(1-p)%5Ey%5C%5C%5C%5CP(Y&space;X)&space;=&space;%5Cfrac%7Bp%7D%7B(1-p)%5E2%7D%5Csum_%7Bx=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(1-p)%5E%7B2x+1%7D%5C%5C%5C%5CP(Y&space;X)=&space;%5Cfrac%7B1-p%7D%7B2-p%7D "\\P(YX)=\sum_{x=1}^{\infty}\sum_{y=x+1}^{\infty}(1-p)^{x-1}p\,(1-p)^{y-1}p\\\\P(Y X)=\frac{p^2}{(1-p)^2}\sum_{x=1}^{\infty}(1-p)^x\sum_{y=x+1}^{\infty}(1-p)^y\\\\P(Y X) = \frac{p}{(1-p)^2}\sum_{x=1}^{\infty}(1-p)^{2x+1}\\\\P(Y X)= \frac{1-p}{2-p}")
c)
=%5Csum_%7Bi=1%7D%5E%7Bk-1%7DP(X+Y=k%7CY=i)P(Y=i)%5C%5CP(X+Y=k)=%5Csum_%7Bi=1%7D%5E%7Bk-1%7DP(X=k-i%7CY=i)P(Y=i)%5C%5CP(X+Y=k)=%5Csum_%7Bi=1%7D%5E%7Bk-1%7DP(X=k-i)P(Y=i)%5C%5CP(X+Y=k)=%5Csum_%7Bi=1%7D%5E%7Bk-1%7Dp(1-p)%5E%7Bk-i-1%7D%5C,p(1-p)%5E%7Bi-1%7D%5C%5CP(X+Y=k)=(k-1)p%5E2(1-p)%5E%7Bk-2%7D "\\P(X+Y=k)=\sum_{i=1}^{k-1}P(X+Y=k|Y=i)P(Y=i)\\P(X+Y=k)=\sum_{i=1}^{k-1}P(X=k-i|Y=i)P(Y=i)\\P(X+Y=k)=\sum_{i=1}^{k-1}P(X=k-i)P(Y=i)\\P(X+Y=k)=\sum_{i=1}^{k-1}p(1-p)^{k-i-1}\,p(1-p)^{i-1}\\P(X+Y=k)=(k-1)p^2(1-p)^{k-2}")
d) Nessa questão, vou considerar que y = 1, ..., z-1, bem, acabei de ver que o livro que eu usei é um pouco diferente na definição pra distribuição geométrica, no caso que eu estou considerando, pra ficar igual ao do exercício, eu deveria considerar X + Y = z+1 e y = 1, ..., z, mas é só adaptar o que está aí em baixo que tecnicamente chegaria ao resultado.
=%5Cfrac%7BP(Y=y,%5C,X+Y=z)%7D%7BP(X+Y=z)%7D%5C%5C%5C%5CP(Y=y%5C,%7C%5C,X+Y=z)=%5Cfrac%7BP(Y=y,%5C,X=z-y)%7D%7BP(X+Y=z)%7D%5C%5C%5C%5CP(Y=y%5C,%7C%5C,X+Y=z)=%5Cfrac%7BP(X=z-y)P(Y=y)%7D%7BP(X+Y=z)%7D%5C%5C%5C%5CP(Y=y%5C,%7C%5C,X+Y=z)=%5Cfrac%7Bp(1-p)%5E%7Bz-y-1%7Dp(1-p)%5E%7By-1%7D%7D%7B(z-1)p%5E2(1-p)%5E%7Bz-2%7D%7D%5C%5C%5C%5CP(Y=y%5C,%7C%5C,X+Y=z)=%5Cfrac%7B1%7D%7Bz-1%7D "\\P(Y=y\,|\,X+Y=z)=\frac{P(Y=y,\,X+Y=z)}{P(X+Y=z)}\\\\P(Y=y\,|\,X+Y=z)=\frac{P(Y=y,\,X=z-y)}{P(X+Y=z)}\\\\P(Y=y\,|\,X+Y=z)=\frac{P(X=z-y)P(Y=y)}{P(X+Y=z)}\\\\P(Y=y\,|\,X+Y=z)=\frac{p(1-p)^{z-y-1}p(1-p)^{y-1}}{(z-1)p^2(1-p)^{z-2}}\\\\P(Y=y\,|\,X+Y=z)=\frac{1}{z-1}")
Não tenho certeza se está isso está certo, mas como vi que está a um bom tempo sem ser resolvida, e a questão é bem legal, resolvi deixar minha tentativa.
Daqui tiramos que min(X, Y) ~ Geo(2p - p²).
b) Não sei porque, mas o LaTeX tá bugando quando eu coloco P(Y > X), então, ali em baixo, considere P(Y X) = P(Y > X).
Para P(Y > X) queremos somar sobre todos os pares (x, y) tais que y > x na f.m.p conjunta, então, desde que X e Y são independentes:
c)
d) Nessa questão, vou considerar que y = 1, ..., z-1, bem, acabei de ver que o livro que eu usei é um pouco diferente na definição pra distribuição geométrica, no caso que eu estou considerando, pra ficar igual ao do exercício, eu deveria considerar X + Y = z+1 e y = 1, ..., z, mas é só adaptar o que está aí em baixo que tecnicamente chegaria ao resultado.
Não tenho certeza se está isso está certo, mas como vi que está a um bom tempo sem ser resolvida, e a questão é bem legal, resolvi deixar minha tentativa.
fantecele- Fera
- Mensagens : 1217
Data de inscrição : 14/09/2014
Idade : 27
Localização : Nova Venécia-ES, Brasil
Tópicos semelhantes» Estatística - distribuição geométrica
» Distribuição de Poisson e Distribuição Binomial
» Distribuição
» DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
» Distribuição
» Distribuição de Poisson e Distribuição Binomial
» Distribuição
» DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
» Distribuição
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos|
|
|
