Equação modular

por ferxx Seg 27 Jan 2014, 18:55

Encontre as raízes de x na equação: |x+1-|x|| + x = 0

1º caso (x>0)
|x+1-|x|| + x = 0
x + 1 - x + x =0
x +1 = 0
x= -1

2º caso (x<0)
|x+1-|x|| + x = 0
-|x+1- -|x|| + x = 0
-|x +1 +|x|| +x = 0
- x - 1 - x + x = 0
x = -1.

O gabarito diz que o segundo caso ficou como x=-1/3. Onde estou errando?

por PedroCunha Seg 27 Jan 2014, 19:22

Veja:

|x+1 - |x|| + x = 0

|x+1 - |x|| = - x

Dois casos, subdivididos em mais dois:

x + 1 - |x| = -x
|x| = 2x + 1

. x = 2x + 1 .:. x = - 1
. x = -2x - 1 .:. x = - 1/3

x + 1 - |x| = x
|x| = 1

. x = 1
. x = -1

Testando:

.|-1+1 - |-1|| - 1 = 0
|0 - 1| - 1 = 0
1 -1 = 0 --> V

.|1 + 1 - 1| + 1 = 0
1 + 1 = 0
2 = 0 --> F

.|-1/3 + 1 - |-1/3|| - 1/3 = 0
| -2/3 + 1| - 1/3 = 0
|1/3| - 1/3 = 0
1/3 - 1/3 = 0
0 = 0 --> V

Logo: S{-1, -1/3}

Penso que seja isso.

Att.,
Pedro

por Luck Seg 27 Jan 2014, 19:24

|x+1-|x|| + x = 0
| x + 1 - |x| | = - x , C.E: como o módulo é sempre não negativo então x ≤ 0.
logo |x+1 - (-x) | = -x∴ |2x+1| = -x
para x ≥ -1/2 : 2x + 1 = -x ∴ x = -1/3 (ok)
para x < -1/2 : -(2x+1) = -x ∴ x = -1 (ok)
S = {-1, -1/3 }

por ferxx Seg 27 Jan 2014, 22:03

Muito obrigada!
Pedro, primeiro você quis achar o valor do módulo interno? x + 1 - |x| = -x
e como você chegou no quarto caso? x + 1 - |x| = x

por PedroCunha Seg 27 Jan 2014, 23:14

Na verdade eu 'destrinchei' o módulo.

Veja:

|x+1 - |x|| = - x

Da definição de módulo:

x + 1 - |x| = -x ou x + 1 -|x| = x

Depois, daqui, isolando |x| e aplicando a definição do módulo novamente, temos.

x + 1 - |x| = x
x - x + 1 = |x|
|x| = 1

Novamente, da definição de módulo: x = +- 1

Entendeu?

Abraços,
Pedro