(EPCAR - Magistério - 2010) Velocidade Instantânea

por ALDRIN Sáb 27 Mar 2010, 22:14

Lança-se um corpo de massa igual a 3,0 kg com velocidade inicial de 6,0 m/s em um plano perfeitamente horizontal e sem atrito. Durante o movimento do corpo, atua sobre ele apenas a força de resistência do ar cujo módulo é dado por F = 2v, onde v é o módulo da velocidade instantânea do corpo. Nessas condições, a máxima distância que o corpo percorrerá, em metros, é

a) 3,0.
b) 6,0.
c) 9,0.
d) 12.

por Viniciuscoelho Qui 08 Abr 2010, 14:59

Resposta:letra a)
Deve ter um jeito mais fácil...

$\\F=m.a\\ F=2v\\\\ (1)\\ F=2(6)\\ 2v=m.a\\ 2.6=3.a\\ a= -4 m/s^2\\ V_{o}=6m/s\\ V_{1}=V_{o} -4.1\\ V_{1}=2m/s\\\\ \Delta S=\frac {V_{1}^2-V_{o}^2}{2a}\\ \Delta S=\frac {16-36}{2.(-4)}\\ \Delta S=\frac {-10}{-8}\\ \Delta S=1,25m\\\\$

$\\(2) \\F=m.a\\ F=2v\\\\ V_{1}=2m/s\\ 2.(2)=3.a\\ a=-\frac {4}{3}m/s^2\\ V_{2}=V_{1} +a.1\\ V_{2}=2 -\frac {4}{3}.1\\ V_{2}=\frac {2}{3}\\\\ \Delta S=\frac {V_{2}^2-V_{1}^2}{2a}\\ \Delta S=\frac {\frac {4}{9}-4}{2.(-\frac {4}{3})}\\ \Delta S=\frac {-\frac {32}{9}}{-\frac {8}{3}}\\ \Delta S=-\frac {32}{9}.(-\frac {3}{8})\\ \Delta S=\frac {4}{3}\\ \Delta S=1,25m\\\\$

$\\(3) \\F=m.a\\ F=2v\\\\ V_{2}=\frac {2}{3}\\ 2.\frac {2}{3}=3.a\\ a=-\frac {4}{9}m/s^2\\ V_{3}=V_{2} + a.1\\ V_{3}=\frac {2}{3} -\frac {4}{9}\\ V_{3}=\frac {18-12}{3.9}\\ V_{3}=\frac {6}{3.9}\\ V_{3}=\frac {2}{9}\\\\$
$\Delta S=\frac {V_{3}^2-V_{2}^2}{2a}\\ \Delta S=\frac {\frac {4}{81}-\frac {4}{9}}{2(-\frac {4}{9})}\\ \Delta S=\frac {\frac {36-324}{81.9}}{2(-\frac {4}{9})}\\ \Delta S=\frac {\frac {-288}{81.9}}{-\frac {8}{9}}\\$
$\\\Delta S=\frac {-288}{81.9}.-\frac {9}{8}\\ \Delta S=\frac {-32}{9.1}.-\frac {1}{8}\\ \Delta S=\frac {32}{9.8}\\ \Delta S=\frac {4}{9}\\ \Delta S=0,4444m\\\\$

$\\(4) \\F=m.a\\ F=2v\\\\ V_{3}=\frac {2}{9}\\ 2.\frac {2}{9}=3.a\\ a=-\frac {4}{27}\\\\ V_{4}=V_{3} + a.1\\ V_{4}=\frac {2}{9} -\frac {4}{27}.1\\ V_{4}=\frac {54-36}{9.27}\\ V_{4}=\frac {18}{9.27}\\ V_{4}=\frac {2}{27}\\\\$
$\\\Delta S=\frac {V_{4}^2-V_{3}^2}{2a}\\ \Delta S=\frac {\frac {4}{729}-\frac {4}{81}}{2.(-\frac {4}{27})}\\ \Delta S=\frac {\frac {324-2916}{729.81}}{-\frac {8}{27}}\\ \Delta S=\frac {\frac {-2592}{729.81}}{-\frac {8}{27}}\\ \Delta S=\frac {\frac {-32}{729}}{-\frac {8}{27}}\\$

$\\\Delta S=\frac {V_{4}^2-V_{3}^2}{2a}\\ \Delta S=\frac {\frac {4}{729}-\frac {4}{81}}{2.(-\frac {4}{27})}\\ \Delta S=\frac {\frac {324-2916}{729.81}}{-\frac {8}{27}}\\ \Delta S=\frac {\frac {-2592}{729.81}}{-\frac {8}{27}}\\ \Delta S=\frac {\frac {-32}{729}}{-\frac {8}{27}}\\$

$\\\Delta S=\frac {32.27}{729.8}\\ \Delta S=\frac {4}{27}\\ \Delta S=0,1481m\\\\ (5) \\F=m.a\\ F=2v\\\\ V_{4}=\frac {2}{27}\\ 2.\frac {2}{27}=3.a\\ a=-\frac {4}{81}\\ V_{5}=V_{4} + a.1\\ V_{5}=\frac {2}{27} -\frac {4}{81}\\ V_{5}=\frac {162-108}{27.81}\\ V_{5}=\frac {54}{27.81}\\ V_{5}=\frac {2}{81}\\\\$

$\\\Delta S=\frac {V_{5}^2-V_{4}^2}{2a}\\ \Delta S=\frac {\frac {4}{6561}-\frac {4}{729}}{2(-\frac {4}{81})}\\ \Delta S=\frac {\frac {4.729-6561.4}{6561.729}}{-\frac {8}{81})}\\ \Delta S=\frac {\frac {-23328}{6561.729}}{-\frac {8}{81})}\\ \Delta S=\frac {\frac {-32}{6561}}{-\frac {8}{81})}\\ \Delta S=\frac {32.81}{6561.8}\\ \Delta S=\frac {4}{81}\\ \Delta S=0,0493m\\\\ 6.\\ \Delta S=1,25m+1,25m+0,4444m+0,1481m+0,0493m=3,1413m\\$

por Diogo Qui 08 Abr 2010, 16:29

Fiz de outro jeito "mais normal"(rsrs) e deu outra resposta...
Resposta:C
$W=F.d=2v.d\to F.d=v.d\to m.a.d=2v.d\to m.(\Delta v/t).d=2v.d$
Como d/t é velocida instantânea também então:
$m.\Delta v.v=2v.d\to m.\Delta v=2d---substituindo---3.6=2d\to d=9m$

Abraços.

por **Euclides** Qui 08 Abr 2010, 16:46

Eu não tinha visto esta questão... ela é super boa . Concordo com a solução do Diogo (de parabéns!). Resolvi usando outro caminho e o cálculo diferencial. Força e velocidade têm sentidos opostos e sendo v a velocidade instantânea:

$F=2v \to F=-\frac{2dx}{dt}$

e de acordo com a segunda lei de Newton

$F=m\frac{dv}{dt}$

$\\m\frac{dv}{dt}=-\frac{2dx}{dt}\hspace{40}\to\hspace{30}mdv=-2dx\\\\\\m\int_{v_0}^0dv=-2\int_0^xdx\\\\\\mv_0=2x\to x=\frac{mv_0}{2}\to x=9\,m$