(UFC-CE) Sistemas lineares e Trigonometria

por PedroCunha Qua 15 maio 2013, 18:54

Trago a seguinte questão amigos, a qual parece ser muito interessante:

(UFC-CE) Considere o sistema
{x.cosa + y.sena = sen(2a)
{x.sena - y.cosa = -cos(2a)

Se a solução (x0,y0) do sistema satisfaz a igualdade 4(x0y0) = 1, determine a medida do ângulo a.

Não possuo gabaritos e a questão não possui alternativas.

Muito obrigado.

Att.,
Pedro

por **Elcioschin** Qua 15 maio 2013, 21:42

Postagem em desacordo com Regra IX do fórum.
Por favor edite sua mensagem

por PedroCunha Qua 15 maio 2013, 22:09

Tópico editado

por **Elcioschin** Qui 16 maio 2013, 10:52

x.cosa + y.sena = sen(2a) ----> *sena ----> x.sena.cosa + ysen²a = sena.sen(2a) -----> I

x.sena - y.cosa = -cos(2a) ----> *cosa ----> x.sena.cosa - y.cos²a = -cosa.cos(2a) -----> II

I - II -----> y.sen²a + y.cos²a = sena.sen(2a) + cosa.cos(2a) ----> y.(sen²a + cos²a) = cosa.cos(2a) + sena.sen(2a) ----->

y.1 = cos(2a - a) ----> y = cosa

I ----> x.cosa + y.sena = sen(2a) ----> x.cosa + cosa.sena = 2.sena.cosa ---> x = sena

xo = sena ----> yo = cosa ----> 4xo.yo = 1 -----> 2.(2.sena.cosa) = 1 ----> 2.sen(2a) = 1 ----> sen2a = 1/2 ----> a = pi/3

por PedroCunha Qui 16 maio 2013, 12:46

Mestre, não entendi as transformações feitas pela senhor.

Você poderia resolver a questão detalhadamente?

Att.,
Pedro

por **Elcioschin** Qui 16 maio 2013, 13:09

Ela foi resolvida detalhadamente, mostrando o passo-a-passo:

A 1ª equação foi multiplicada por sena
A 2ª equação foi multiplicada por cosa
Foi subtraída a 2ª equação da 1ª equação
Foi usada a propriedade cos(x - y) = cosx.cosy + senx.seny
Foi substituído o valor de y = cosa na equação I
O resto é Álgebra simples

por PedroCunha Qui 16 maio 2013, 16:07

Entendi quase tudo Mestre.

Mas veja a seguinte passagem:

I ----> x.cosa + y.sena = sen(2a) ----> x.cosa + cosa.sena = 2.sena.cosa ---> x = sena

O que o senhor fez foi isso

I ----> x.cosa + y.sena = sen(2a) ----> x.cosa + cosa.sena = 2sena.cosa --->
x.cosa = 2sena.cosa - cosa.sena ---> x.cosa = sencos(2a - a) ---->
x = sencos(a)/cos ---> x = sen(a)

?

E nessa passagem

sen2a = 1/2 ----> a = pi/3

como o senhor descobriu o valor de a?

Att.,
Pedro

por **Elcioschin** Qui 16 maio 2013, 16:51

I) Foi quase isto:

I ----> x.cosa + y.sena = sen(2a) ----> x.cosa + cosa.sena = 2sena.cosa --->
x.cosa = 2sena.cosa - cosa.sena ---> x.cosa = sena.cosa ----> x = sena

2) Na respsota final eu cometí um erro;

sen(2a) = 1/2 ----> Existem duas soluções na primeira volta:

a) sen(2a) = 1/2 ----> 2a = 30º ----> 2a = pi/6 ----> a = pi/12

b) sen(2a) = 1/2 ----> 2a = 150º -----> 2a = 5pi/6 ----> a = 5pi/12