Sistemas Lineares
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Sistemas Lineares
por Bruna Ce Ter Fev 04 2020, 11:16
No sistema linear abaixo, nas variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar:
A)No caso em que a=1, o sistema tem solução se, e somente se, m=2. (gabarito)
B)O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
C)No caso em que m=2, o sistema tem solução se, e somente se, a=1.
D)O sistema só tem solução se a=m=1.
E)O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
Minha pergunta é: porque a C também não está certa?
A)No caso em que a=1, o sistema tem solução se, e somente se, m=2. (gabarito)
B)O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
C)No caso em que m=2, o sistema tem solução se, e somente se, a=1.
D)O sistema só tem solução se a=m=1.
E)O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
Minha pergunta é: porque a C também não está certa?
Bruna Ce- Jedi
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Re: Sistemas Lineares
por Giovana Martins Ter Fev 04 2020, 13:49
Seja A a matriz dos coeficientes do sistema. Se det(A)≠0 o sistema tem solução única. Vamos partir inicialmente dessa ideia.
\\\begin{vmatrix}
a &-1 &0 \\
0 &1 &1 \\
1 & 0 &1
\end{vmatrix}\neq0\to a\neq 1
Então para a≠1 o sistema tem solução única. Assim, se a=1, valor para o qual det(A)=0, o sistema torna-se indeterminado ou impossível. Vamos ver o que acontece para a=1.
\\\left\{\begin{matrix}
x-y=1\\
y+z=1\\
x+z=m
\end{matrix}\right.\to \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 &1 \\
0 & 1 & 1 &1 \\
1 & 0 & 1 & m
\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 &1 \\
0 & 1& 1& 1\\
0 & 0& 0 &2-m
\end{pmatrix}\to \left\{\begin{matrix}
x-y=1\\
y+z=1\\
0z=2-m
\end{matrix}\right.
Assim, z=(2-m)/0. Logo, para m=2 o sistema é indeterminado e, para m≠2, o sistema é impossível.
Eu diria que a letra C é falsa pois se tivermos m=2 e a≠1 o sistema também terá solução.
a &-1 &0 \\
0 &1 &1 \\
1 & 0 &1
\end{vmatrix}\neq0\to a\neq 1
Então para a≠1 o sistema tem solução única. Assim, se a=1, valor para o qual det(A)=0, o sistema torna-se indeterminado ou impossível. Vamos ver o que acontece para a=1.
x-y=1\\
y+z=1\\
x+z=m
\end{matrix}\right.\to \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 &1 \\
0 & 1 & 1 &1 \\
1 & 0 & 1 & m
\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 &1 \\
0 & 1& 1& 1\\
0 & 0& 0 &2-m
\end{pmatrix}\to \left\{\begin{matrix}
x-y=1\\
y+z=1\\
0z=2-m
\end{matrix}\right.
Assim, z=(2-m)/0. Logo, para m=2 o sistema é indeterminado e, para m≠2, o sistema é impossível.
Eu diria que a letra C é falsa pois se tivermos m=2 e a≠1 o sistema também terá solução.
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Sistemas Lineares
por Erick13 Qua Fev 05 2020, 19:28
Giovana, eu não aprendi a fazer essa matriz que você fez com as incógnitas e termos independentes que vc fez. Poderia explicar de outra maneira por favor?
Erick13- Recebeu o sabre de luz
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Re: Sistemas Lineares
por Giovana Martins Qua Fev 05 2020, 22:45
Erick, vou fazer da seguinte maneira, veja:
Somando as duas primeiras equações: ax+z=2. Agora, eu irei subtrair esta última equação da última que me retornará: (a-1)x=2-m. Daí, x=(2-m)/(a-1).
Para a≠1 o sistema será sempre possível e determinado para qualquer valor de m real (inviabiliza o item C, pois para a≠1 e m=2 tem-se também solução).
Para a=1 e m=2 o sistema será possível porém indeterminado.
Para a=1 e m≠2 o sistema é impossível.
Se sobrar alguma dúvida é só falar.
Somando as duas primeiras equações: ax+z=2. Agora, eu irei subtrair esta última equação da última que me retornará: (a-1)x=2-m. Daí, x=(2-m)/(a-1).
Para a≠1 o sistema será sempre possível e determinado para qualquer valor de m real (inviabiliza o item C, pois para a≠1 e m=2 tem-se também solução).
Para a=1 e m=2 o sistema será possível porém indeterminado.
Para a=1 e m≠2 o sistema é impossível.
Se sobrar alguma dúvida é só falar.
Giovana Martins- Grande Mestre
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