Sistemas Lineares

Os valores de k para os quais o sistema admite soluções diferentes da solução nula pertencem ao intervalo:

x + y + z = kx
x + y + z  = ky
x + y + z  = kz

a) [-2,2]
b) [-1,4]
c)  [1,3]
d)  [2,4]
e)  [-3,0]

GABARITO:

Olá.

Reescrevendo as equações:

(1-k)*x + y + z = 0
 x + (1-k)*z +z = 0
 x+ y + (1-k)*z = 0

Para admitir soluções além da trivial, o determinante principal deve ser nulo:

|(1-k)  1        1| (1-k) 1
|  1    (1-k)    1|    1  (1-k)    =  0
|  1     1   (1-k)|    1     1

.:. (1-k)³ + 1 + 1 - (1-k) - (1-k) - (1-k) = 0 .:. (1-k)³+2-3(1-k) = 0 


Fazendo (1-k) = y:

y³ - 3y + 2 = 0 

Note que 1 é raiz. Fatorando: 

y³ - y + 2 - 2y = 0 .:. y*(y²-1) -2*(y-1) .:. 
y*(y+1)*(y-1) - 2*(y-1)=0 .:. (y-1)*(y²+y-2) = 0

y = 1 ou y = -2 --> 1-k = 1 .:. k = 0 ou 1-k = -2 .:. k = 3

Alternativa B.

Att.,
Pedro

Valeu !