ITA - SP Matrizes

por Jônatas Arthur De F. L. Ter 07 maio 2013, 20:08

Sejam A e P matrizes reais quadradas de ordem n tais que A é assimétrica (isto é, A = A^t) e P é ortogonal (isto é, P.P^t = I = (P^t).P), P diferente da matriz identidade. Se B = (P^t).A.P então:

a) AB é simétrica
b) BA é simétrica
c) det A = det B
d) BA = AB
e) B é ortogonal

Spoiler:

por LendárioKamikaze Ter 07 maio 2013, 20:17

B = P^t.A.P

No enunciado ele diz que P^t.P=I, logo , fica B=I.A.
Mas I.A=A , chegamos então em B=A.
logo , DET(B) = DET(A).
me corrijam se eu estiver errado em alguma parte.

por Jônatas Arthur De F. L. Ter 07 maio 2013, 20:45

Só não entendi a parte do P^t.A.P ser igual a I.A, pois a multiplicação de matrizes não é comutativa e as propriedades válidas são:

Associativa: (A.B).C = A.(B.C)
Distributiva à direita: (A+B).C = A.C + B.C
Distributiva à esquerda: C(A+B) = C.A + C.B

por LendárioKamikaze Ter 07 maio 2013, 20:59

Acho que esse fato é explicado por estarmos falando de det..
no caso ali é DET(B)=DET(P^T.A.P)

como P^T.P = I, então DET (P^T.P)=detI , acho que por estarmos falando de DET , ou seja, uma constante (não uma matriz), podemos fazer isso.
Mas não tenho certeza, é melhor perguntar para um professor ou alguem mais capacitado.

por Jônatas Arthur De F. L. Ter 07 maio 2013, 22:18

Deve ser por isso, então. Também estava em dúvida se poderia fazer isso. Mas o determinante de uma matriz não passa de um número, sendo assim a ordem dos fatores não deve importar! Smile