matemática - fatorial

AJUDAA!

MACK) 410= a1.1!+a2.2!+...+an.n! , em que ak é um numero natural menor ou igual a k. O valor de a4 é?

R: 2

Olá Caroline, achei a questão meio estranha... mas vo postar assim mesmo minha solução:
Considere a soma máxima, para isso ak = k
410 = ∑kk!
∑kk! = (k+1)! - 1
410 = (k+1)! - 1
se k = 4 ,119 impossível pois a soma considerada é máxima.
se k = 5 , 719 possível para valores de ak < k
se k = 6 , impossível: an.n! < 410 ,para n = 6 se an = 1 , tem-se 720< 410

Logo k = 5, agora basta analisar possíveis valores de ak< k
410 = a1.1! + a2.2! + a3.3! + a4.4! + a5.5!
se a5 = 5, 120.5> 410
se a5 = 4 , 120.4 > 410
se a5 = 3 , 360 ok

se a4 = 4, 4.4! = 96 , 96 + 360 > 410
se a4 = 3 , 3.4! = 72 , 72 + 360 > 410
se a4 = 2 , 2.4! = 48, 48 + 360 = 408
como enunciado nao disse natural positivo, entao seria válido para a1 = 0, a2 = 1, a3= 0
Logo a4 = 2
Vamos testar os outros para provar que não há outro valor para a4..
se a4 =1 , 1.4! = 24, 24 + 360 = 384
410 - 384 = 26, com valores máximos a2=2, a1 = 1, e a3 = 3 teríamos 27, logo impossível

se a5 = 2 , 240 ok
se a4 = 4 , 240+ 96 = 336 , 410 - 336 = 74 , que é impossível obter com a1,a2,a3 máximos, e por consequência impossível para valores menores... Logo a4 é único e igual a 2.

Entendi...mt obg!